Question

ABCD與CDEF是兩個全等的正方形，且兩個正方形所在平面互相垂直，則DF與AC所成角的大小為

 

．

Answer 1

分析：作出如圖的圖形，取H，M，N為三個線線段的中點，可以證得∠HMN即為DF與AC所成角可所成角的補角，在三角形HMN中求解即可

解答：解：如圖不妨令正方形的邊長為2，則AC=DF=2

2

，取H，M，N為三個線線段的中點，連接HM，MN，則有HM∥AC，MN∥DF，故∠HMN即為DF與AC所成角可所成角且HM=MN=

2

連接HN，DN，在直角三角形DCN中可以求得ND=

5

，
在直角三角形HDN中可以求得HN=

6

在△HMN中cos∠HMN=

2+2-6

2× 2 × 2

=-

1

2

故∠HMN=

2π

3

所以DF與AC所成角的大小為

π

3

故答案為

π

3

點評：本題考查異面直線所成角的求法，其步驟是作角，證角，求角，在解三角形求所成角的余弦時，如本題中，解得余弦值為負，對應的角是一個鈍角，則兩直線所成的角是它的補角，若求出的余弦值是正值，則所求的角即為兩異面直線所成的角．