已知函數(shù)f(x)=(x2-ax+1)eax,其中a∈R,x∈R若函數(shù).y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與X軸平行.
(I)求實數(shù)a的值;
(II)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(III)當(dāng)a>0時,設(shè)g(x)=lnf(x),當(dāng),x∈(1,+∞)時,函數(shù)g(x)圖象上是否存在兩點,使得過此兩點處的切線互相垂直?證明你的結(jié)論.
解:f'(x)=e
ax[ax
2-(a
2-2)x]
(1)因為f(x)在點(1,f(1))處的切線與X軸平行.
f'(1)=0,即a-a
2+2=0
解得a=-1或2
(2)由f'(x)=e
ax[ax
2-(a
2-2)x]得
①a=2時,f'(x)=e
2x(2x
2-2x)
由f'(x)>0得
x>1或x<0
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,0)和(1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1)
②a=-1時,令f'(x)>0得0<x<1
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間是 (-∞,0)和(1,+∞)
(III)當(dāng)a>0時,由(1)知a=2
∵g(x)=lnf(x)=ln(x
2-2x+1)+2x
假設(shè)存在兩點A、B,使得過此兩點處的切線互相垂直,則由
g'(x)=
知斜率k
1=g'(x
1)=
k
2=g'(x
2)=
且k
1•k
2=-1∵x∈(1,+∞)
∴x1-1>0,x2-1>0
∴
,因此上式矛盾!故假設(shè)不成立.
∴函數(shù)上不存在兩點A、B,使得過此兩點處的切線互相垂直.
分析:(I)先由所給函數(shù)的表達(dá)式,求導(dǎo)數(shù)fˊ(x),再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率,最后由平行直線的斜率相等方程求a的值即可;
(II)對參數(shù)a進行分類,令導(dǎo)數(shù)fˊ(x)>0,解不等式即可求出f(x)的單調(diào)性;
(III)先由(I)得出a的值,然后假設(shè)存在兩點使得過此兩點處的切線互相垂直,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),再根據(jù)k
1•k
2=-1,列出關(guān)于x
1、x
2的不等式,推出矛盾就可得出結(jié)論.
點評:本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程、兩條直線平行的判定等基礎(chǔ)知識,會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,考查推理能力.