Question

已知函數(shù)f（x）=x²e^ax，其中a≤0，e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調性；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）先確定函數(shù)的定義域然后求導數(shù)fˊ（x），討論a，在函數(shù)的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0即可．
（2）欲求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上的最大值，先求f（x）在區(qū)間[0，1]上的單調性，討論a的值，分別求出最大值．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=x（ax+2）e^ax．
（i）當a=0時，令f'（x）=0，得x=0．
若x＞0，則f'（x）＞0，從而f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
若x＜0，則f'（x）＜0，從而f（x）在（-∞，0）上單調遞減．
（ii）當a＜0時，令f′(x)=0，得x(ax+2)=0，故x=0或x=-

2

a

.
若x＜0，則f'（x）＜0，從而f（x）在（-∞，0）上單調遞減；
若0＜x＜-

2

a

，則f′(x)＞0，從而f(x)在(0，-

2

a

)上單調遞增；
若x＞-

2

a

，則f′(x)＜0，從而f(x)在(-

2

a

，+∞)上單調遞減．
（Ⅱ）（i）當a=0時，f（x）在區(qū)間[0，1]上的最大值是f（1）=1．
（ii）當-2＜a＜0時，f（x）在區(qū)間[0，1]上的最大值是f（1）=e^a．
（iii）當a≤-2時，f（x）在區(qū)間[0，1]上的最大值是f(-

2

a

)=

4

a2e2

.

點評：本小題主要考查函數(shù)的導數(shù)，單調性等基礎知識，考查綜合利用數(shù)學知識分析問題、解決問題的能力，屬于基礎題．