Question

已知函數f （x）=．
（1）判斷函數f （x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調性，并加以證明；
（2）如果關于x的方程f （x）=kx²有四個不同的實數解，求實數k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）函數f （x）在區(qū)間（0，+∞）上，證明如下：
∵f（x）=，
∴當x＞0時，f（x）=
∵上是減函數
∴f （x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數．（4分）
（2）原方程即：=kx²①
①由方程的形式可以看出，x=0恒為方程①的一個解．（5分）
②當x＜0且x≠-2時方程①有解，則=kx²即kx²+2kx+1=0
當k=0時，方程kx²+2kx+1=0無解；
當k≠0時，△=4k²-4k≥0即k＜0或k≥1時，方程kx²+2kx+1=0有解．
設方程kx²+2kx+1=0的兩個根分別是x₁，x₂則x₁+x₂=-2，x₁x₂=．
當k＞1時，方程kx²+2kx+1=0有兩個不等的負根；
當k=1時，方程kx²+2kx+1=0有兩個相等的負根；
當k＜0時，方程kx²+2kx+1=0有一個負根（8分）
③當x＞0時，方程①有解，則=kx²，kx²+2kx-1=0
當k=0時，方程kx²+2kx-1=0無解；
當k≠0時，，△=4k²+4k≥0即k＞0或k≤-1時，方程kx²+2kx-1=0有解．
設方程kx²+2kx-1=0的兩個根分別是x₃，x₄
∴x₃+x₄=-2，x₃x₄=-
∴當k＞0時，方程kx²+2kx-1=0有一個正根，
當k≤-1時，方程kx²+2kx+1=0沒有正根．（11分）．
綜上可得，當k∈（1，+∞）時，方程f （x）=kx²有四個不同的實數解．（13分）．
分析：（1）判斷函數f （x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調性，并加以證明，先去絕對值號對函數表達式化簡，根據其形式判斷出函數的性質，再進行證明
（2）方程f （x）=kx²有四個不同的實數解，代入函數表達式，進行探究，由于方程帶有絕對值，故需要分類去絕對值，在每一類中找出滿足方程有兩解的參數的值，合并既得．
點評：本題第一問考查單調性的判斷，題目較易，第二問由方程有四個解來求參數的范圍，本題對思維的嚴密性要求很高，需要熟練運用分類討論的思想，因為題目中有太多的不確定性，本題難度較大．