Question

已知函數(shù)f（x）=x³+x（-2＜x＜2），則不等式f（a）+f（a²-2）＜0的解集為

（-2，0）∪（0，1）

．

Answer 1

分析：先根據(jù)導數(shù)判斷出函數(shù)f（x）在（-2，2）上是增函數(shù)，接著利用函數(shù)奇偶性的定義判斷出函數(shù)是奇函數(shù)，進而利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性結(jié)合解不等式的方法解出參數(shù)的范圍．

解答：解：因為函數(shù)f（x）=x³+x，所以f′（x）=3x²+1q且f′（x）＞0在（-2，2）上恒成立．
所以f（x）在（-2，2）上是增函數(shù)．
因為函數(shù)f（x）=x³+x（-2＜x＜2），
所以函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱且f（-x）=-（x³+x）=-f（x）
所以函數(shù)f（x）是定義域內(nèi)的奇函數(shù)．
又因為不等式f（a）+f（a²-2）＜0成立
所以f（a）＜f（2-a²）
即-2＜a＜2，-2＜2-a²＜2且a＜2-a²
解得-2＜a＜0或0＜a＜1
所以不等式f（a）+f（a²-2）＜0的解集為（-2，0）∪（0，1）．
故答案為（-2，0）∪（0，1）．

點評：解決此類問題的關(guān)鍵是正確利用函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的奇偶性之間的關(guān)系，結(jié)合不等式的解法解出參數(shù)的范圍，此知識點是高考考查的重點之一．