Question

18．（本題只限理科學生做）
已知兩定點A（2，5），B（-2，1），M（在第一象限）和N是過原點的直線l上的兩個動點，且|MN|=2$\sqrt{2}$，l∥AB，如果直線AM和BN的交點C在y軸上，求點C的坐標．

Answer 1

分析 由點A、B的坐標并利用斜率公式得k_AB=1，求出l的方程，設M（a，a）（a＞0），N（b，b），利用$|MN|=2\sqrt{2}$，求出|a-b|=2，得C的坐標為$（0，\frac{3a}{a-2}）$與$（0，\frac{3b}{b+2}）$求解即可．

解答 （理）
解：由兩定點A（2，5），B（-2，1），得k_AB=1，于是k₁=1，從而l的方程為y=x，…（2分）
設M（a，a）（a＞0），N（b，b），由$|MN|=2\sqrt{2}$，得$\sqrt{{{（a-b）}^2}+{{（a-b）}^2}}=2\sqrt{2}$，
故|a-b|=2…（4分）
直線AM的方程為：$y-5=\frac{a-5}{a-2}（x-2）$，令x=0，則得C的坐標為$（0，\frac{3a}{a-2}）$
直線BN的方程為：$y-1=\frac{b-1}{b+2}（x+2）$，令x=0，則得C的坐標為$（0，\frac{3b}{b+2}）$…（9分）
故$\frac{3a}{a-2}=\frac{3b}{b+2}$，化簡得a=-b，將其代入|a-b|=2，并注意到a＞0，得a=1，b=-1
所以點C的坐標為（0，-3）…（12分）

點評 本題考查直線方程的求法，交點坐標的求法，考查計算能力．