Question

（2012•安徽模擬）如圖，已知三點(diǎn)A，B，E在平面α內(nèi)，點(diǎn)C，D在α外，并且AC⊥α，DE⊥α，BD⊥AB．若AB=3，AC=BD=4，CD=5，則BD與平面α所成的角等于（ ）

A.30° B.45° C.60° D.16°

Answer 1

A

【解析】

試題分析：根據(jù)DE⊥α，可得∠DBE是直線BD與平面α所成的角，然后過點(diǎn)D作DF⊥AC于F，連接AD，AE，可以證明出四邊形AEDF為矩形，從而DE=AF．接下來用勾股定理計(jì)算出AD=5=CD，從而得到DF是△ACD的中線，即AF=CF=AC=2，最后在Rt△BDE中，利用三角函數(shù)的定義得到sin∠DBE=，所以∠DBE=30°，可得直線BD與平面α所成的角等于30°．

【解析】
∵DE⊥α，

∴BE即為BD在平面α內(nèi)的射影，

可得∠DBE是直線BD與平面α所成的角

過點(diǎn)D作DF⊥AC于F，連接AD，AE

∵AC⊥α，DE⊥α，

∴AC∥DE，且∠AED=∠FAE=∠DFA=90°

可得四邊形AEDF為矩形

∴DE=AF

∵BD⊥AB

∴Rt△ABD中，AD==

∵△ACD中，CD=AD=5

∴DF是中線，即AF=CF=AC=2

∴Rt△BDE中，BD=4，DE=2

可得sin∠DBE=

∴∠DBE=30°，即直線BD與平面α所成的角等于30°

故選A