Question

已知函數(shù)f(x)=sin(

3π

4

-x)-

3

cos(x+

π

4

)，x∈R，則f（x）是（　�。�

• A、周期為π，且圖象關(guān)于點(

  π

  12

  ，0)對稱
• B、最大值為2，且圖象關(guān)于點(

  π

  12

  ，0)對稱
• C、周期為2π，且圖象關(guān)于點(-

  π

  12

  ，0)對稱
• D、最大值為2，且圖象關(guān)于x=

  5π

  12

  對稱

Answer 1

分析：把f（x）解析式中的被減數(shù)中的角度

3π

4

-x變形為π-（x+

π

4

）后，利用誘導公式變形，提取2后，再利用兩角差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的值域即可求出f（x）的最大值；找出ω的值，利用周期公式即可求出f（x）的周期，令k=0即可求出函數(shù)圖象的一個對稱點(

π

12

，0)，即可得到正確的選項．

解答：解：f(x)=sin(

3π

4

-x)-

3

cos(x+

π

4

)
=sin[π-（x+

π

4

）]-

3

cos（x+

π

4

）
=sin（x+

π

4

）-

3

cos（x+

π

4

）
=2[

1

2

sin（x+

π

4

）-

3

2

cos（x+

π

4

）]
=2sin[（x+

π

4

）-

π

3

]
=2sin（x-

π

12

），
∵x∈R，∴x-

π

12

∈R，
∴-1≤sin（x-

π

12

）≤1，
則f（x）的最大值為2；
∵ω=1，∴周期T=

2π

1

=2π；
當x-

π

12

=kπ（k∈Z）時，f（x）圖象關(guān)于某一點對稱，
∴當k=0，求出x=

π

12

，即f（x）圖象關(guān)于x=

π

12

對稱，
故選B

點評：此題考查了三角函數(shù)的恒等變形，三角函數(shù)的周期性及其求法，正弦函數(shù)的對稱性以及三角函數(shù)的最值，靈活運用三角函數(shù)的恒等變形把f（x）化為一個角的正弦函數(shù)是本題的突破點．