Question

已知奇函數(shù)f(x)=loga

bx+1

x-1

，（a＞0，且a≠1）
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）對(duì)于x∈[2，4]f(x)＞loga

m

(x-1)2(7-x)

恒成立，求m的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)n≥4，且n∈N^*時(shí)，試比較a^{f（2）+f（3）+…+f（n）}與2ⁿ-2的大小．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)奇函數(shù)的定義g（x）=-g（-x）列出關(guān)于b的等式，由函數(shù)的奇偶性定義求出b的值；
（II）分當(dāng)a＞1和當(dāng)0＜a＜1兩種情況討論，利用分離參數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用來(lái)解m的取值范圍．
（Ⅲ）先得出：af(2)+f(3)++f(n)=

n(n+1)

2

，再分情況討論：當(dāng)n=2時(shí)，

n(n+1)

2

=3，2ⁿ-2=2，∴a^{f（2）+f（3）++f（n）}＞2ⁿ-2；當(dāng)n=3時(shí)，

n(n+1)

2

=6，2ⁿ-2=6，∴a^{f（2）+f（3）++f（n）}=2ⁿ-2；當(dāng)n≥4時(shí)，af(2)+f(3)++f(n)=

n(n+1)

2

＜2ⁿ-2進(jìn)行證明即可．

解答：解：（Ⅰ）由f(x)=loga

bx+1

x-1

，f(-x)=loga

-bx+1

-x-1

=loga

bx-1

x+1

f(x)+f(-x)=loga

bx+1

x-1

+loga

bx-1

x+1

=loga

b2x2-1

x2-1

=0
∴

b2x2-1

x2-1

=1恒成立，b²=1，b=±1經(jīng)檢驗(yàn)b=1
（Ⅱ）由x∈[2，4]時(shí)，f(x)=loga

x+1

x-1

＞loga

m

(x-1)2(7-x)

恒成立，
①當(dāng)a＞1時(shí)
∴

x+1

x-1

＞

m

(x-1)2(7-x)

＞0對(duì)x∈[2，4]恒成立
∴0＜m＜（x+1）（x-1）（7-x）在x∈[2，4]恒成立
設(shè)g（x）=（x+1）（x-1）（7-x），x∈[2，4]
則g（x）=-x³+7x²+x-7g′(x)=-3x2+14x+1=-3(x-

7

3

)2+

52

3

∴當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，g'（x）＞0
∴y=g（x）在區(qū)間[2，4]上是增函數(shù)，g（x）_min=g（2）=15
∴0＜m＜15
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)
由x∈[2，4]時(shí)，f(x)=loga

x+1

x-1

＞loga

m

(x-1)2(7-x)

恒成立，
∴

x+1

x-1

＜

m

(x-1)2(7-x)

對(duì)x∈[2，4]恒成立
∴m＞（x+1）（x-1）（7-x）在x∈[2，4]恒成立
設(shè)g（x）=（x+1）（x-1）（7-x），x∈[2，4]
由①可知y=g（x）在區(qū)間[2，4]上是增函數(shù)，g（x）_max=g（4）=45
∴m＞45
綜上，當(dāng)a＞1時(shí)，0＜m＜15；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，m＞45
（Ⅲ）∵f(2)+f(3)++f(n)=loga3+loga

4

2

+loga

5

3

++loga

n

n-2

+loga

n+1

n-1

=loga(3×

4

2

×

5

3

××

n

n-2

×

n+1

n-1

)=loga

n(n+1)

2

∴af(2)+f(3)++f(n)=

n(n+1)

2

當(dāng)n=2時(shí)，

n(n+1)

2

=3，2ⁿ-2=2，∴a^{f（2）+f（3）++f（n）}＞2ⁿ-2
當(dāng)n=3時(shí)，

n(n+1)

2

=6，2ⁿ-2=6，∴a^{f（2）+f（3）++f（n）}=2ⁿ-2
當(dāng)n≥4時(shí)，af(2)+f(3)++f(n)=

n(n+1)

2

＜2ⁿ-2
下面證明：當(dāng)n≥4時(shí)，af(2)+f(3)++f(n)=

n(n+1)

2

＜2ⁿ-2
當(dāng)n≥4時(shí)，2ⁿ-2=C_n⁰+C_n¹+C_n²++C_n^n-1+C_nⁿ-2=C_n¹+C_n²++C_n^n-1＞n+

n(n-1)

2

+n=

n2+3n

2

＞

n(n+1)

2

∴當(dāng)n≥4時(shí)，af(2)+f(3)++f(n)=

n(n+1)

2

＜2ⁿ-2
h(4)=

4×5

2

-24+2=-4＜0n≥4時(shí)，

n(n+1)

2

-2n+2＜0，即

n(n+1)

2

＜2ⁿ-2
∴當(dāng)n≥4時(shí)，af(2)+f(3)++f(n)=

n(n+1)

2

＜2ⁿ-2．

點(diǎn)評(píng)：本題是函數(shù)性質(zhì)的綜合題，本小題主要考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、不等式的解法、導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．