.已知函數(shù)f(x)=x2+|x-a|+1,a∈R.

(1)試判斷f(x)的奇偶性；

（2）若-≤a≤，求f(x)的最小值.

（1）f(x) 為非奇非偶函數(shù)（2）a2+1


解析:

(1)當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x),

此時(shí),f(x)為偶函數(shù).當(dāng)a≠0時(shí)，f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,

f(a)≠f(-a),f(a)≠-f(-a),此時(shí)，f(x) 為非奇非偶函數(shù).

（2）當(dāng)x≤a時(shí),f(x)=x2-x+a+1=(x-)2+a+,

∵a≤,故函數(shù)f(x)在（-∞，a］上單調(diào)遞減，

從而函數(shù)f(x)在（-∞，a］上的最小值為f(a)=a2+1.

當(dāng)x≥a時(shí)，函數(shù)f(x)=x2+x-a+1=(x+)2-a+,

∵a≥-，故函數(shù)f(x)在［a，+∞）上單調(diào)遞增，從而函數(shù)f(x)在［a，+∞)上的最小值為f(a)=a2+1.

綜上得，當(dāng)-≤a≤時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值為a2+1.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
3x+5，(x≤0)
x+5，(0＜x≤1)
-2x+8，(x＞1)
，
求（1）f(
1
π
)，f[f(-1)]的值；
（2）若f（a）＞2，則a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=
(1-3a)x+10ax≤7
ax-7x＞7.
是定義域上的遞減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）
A、(
1
3
，1)
B、（
1
3
，
1
2
]
C、（
1
3
，
6
11
]
D、[
6
11
，1）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
|x-1|-a
1-x2
是奇函數(shù)．則實(shí)數(shù)a的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2x-2-x2x+2-x

（1）求f（x）的定義域與值域；
（2）判斷f（x）的奇偶性并證明；
（3）研究f（x）的單調(diào)性．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
x-1x+a
+ln(x+1)，其中實(shí)數(shù)a≠1．
（1）若a=2，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
（2）若f（x）在x=1處取得極值，試討論f（x）的單調(diào)性．

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