Question

已知函數(shù)f（x）=lg（x+

a

x

-2），其中x＞0，a＞0
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）若對(duì)任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，試確定a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題,函數(shù)的定義域及其求法

專題：分類討論,轉(zhuǎn)化思想,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）直接利用對(duì)數(shù)函數(shù)真數(shù)大于0，對(duì)a討論，即可求函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）對(duì)任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，轉(zhuǎn)化為a＞-x²+3x對(duì)x∈[2，+∞）恒成立，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)的最值，然后確定a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ） 由x+

a

x

-2＞0得，

x2-2x+a

x

＞0，因?yàn)閤＞0，所以x²-2x+a＞0…（1分）
解得a＞1時(shí)，定義域?yàn)椋?，+∞）…（3分）
a=1時(shí)，定義域?yàn)椋?，1）∪（1，+∞）…（5分）
0＜a＜1時(shí)，定義域?yàn)?span id="sbvenhe" class="MathJye">(0，1-

1-a

)∪(1+

1-a

，+∞)…（7分）
（Ⅱ）對(duì)任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，即x+

a

x

-2＞1對(duì)x∈[2，+∞）恒成立…（8分）
即a＞-x²+3x對(duì)x∈[2，+∞）恒成立…（10分）
記h（x）=-x²+3x，x∈[2，+∞），則只需a＞h（x）_max…（11分）
而h（x）=-x²+3x在[2，+∞）上是減函數(shù)，所以h（x）_max=h（2）=2…（13分）
故a＞2…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的恒成立，函數(shù)的定義域，考查計(jì)算能力，分類討論以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．