Question

已知函數(shù)f（x）=2^x-4^x
（1）求f（x）的值域
（2）解不等式f（x）＞16-9×2^x．
（3）若關(guān)于x的方程f（x）=m在[-1，1]上有解，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）令t=2^x，則t＞0，所以原函數(shù)轉(zhuǎn)化為y=t-t²=-（t-）²+
在（0，）上為增函數(shù)，在（，+∞）上是減函數(shù)，
∴y≤，f（x）的值域（-∞，]．
（2）因為f（x）＞16-9×2^x?（2^x）²-10×2^x+16＜0?（2^x-2）（2^x-8）＜0?2＜2^x＜8?1＜x＜3．
所以不等式f（x）＞16-9×2^x的解集為{x|1＜x＜3}．
（3）令t=2^x，因為x∈[-1，1]?t∈[，2]，
所以關(guān)于x的方程f（x）=m在[-1，1]上有解轉(zhuǎn)化為y=t-t²=m在t∈[，2]上有解
又因為y=t-t²=-（t-）²+在t∈[，2]上為減函數(shù)，
所以y_max=，y_min=-2，即-2≤m．
故m的取值范圍-2≤m．
分析：（1）令t=2^x，把問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在固定區(qū)間上求值域即可．
（2）解關(guān)于2^x的一元二次不等式即可．
（3）令t=2^x，轉(zhuǎn)化為求y=t-t²在t∈[，2]上的值域即可．
點評：本題是對二次函數(shù)知識的綜合考查．既有二次不等式的解法，又有二次函數(shù)在固定區(qū)間上求值域問題，是一道好題．