Question

（2012•黃州區(qū)模擬）若函數(shù)f（x）=sinωx+

3

cosωx（x∈R，ω＞0）滿足f（α）=-2，f（β）=0，且|α-β|的最小值為

π

2

，則函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為

[2kπ-

5π

6

，2kπ+

π

6

]，k∈z

．

Answer 1

分析：由兩角和的正弦公式可得f（x）=2sin（ωx+

π

3

），由周期為

2π

ω

=4×

π

2

=2π，求得ω=1，從而求得函數(shù)f（x）的解析式，令 2kπ-

π

2

≤x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求出x的范圍，即可得到函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=sinωx+

3

cosωx=2sin（ωx+

π

3

），f（α）=-2，f（β）=0，且|α-β|的最小值為

π

2

，
∴周期為 

2π

ω

=4×

π

2

=2π，∴ω=1，∴函數(shù)f（x）=2sin（x+

π

3

）．
令 2kπ-

π

2

≤x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得 2kπ-

5π

6

≤x≤2kπ+

π

6

，k∈z，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[2kπ-

5π

6

，2kπ+

π

6

]，k∈z．

點(diǎn)評：本題主要考查兩角和的正弦公式，由y=Asin（ωx+）的部分圖象求解析式，正弦函數(shù)的增區(qū)間，屬于中檔題．