Question

如圖，已知平面α∩β=?，A，B∈α，C，D∈?，ABCD為矩形，P∈B，PA⊥α，且PA=AD，M、N、F依次是AB、PC、PD的中點．
（1）求證：四邊形AMNF為平行四邊形；
（2）求證：MN⊥AB
（3）求異面直線PA與MN所成角的大�。�

Answer 1

分析：（1）利用三角形中位線定理及矩形性質(zhì)，即可證明FN∥AM，F(xiàn)N=AM，從而利用平行四邊形判定定理即可得證
（2）先利用線面垂直的定義，證明AB⊥PA，再利用線面垂直的判定定理證明AB⊥平面PAD，最后由線線角的定義即可證明結(jié)論
（3）先利用（2）找到異面直線所成的角的平面角，再在三角形中計算此角即可

解答：證明：（1）∵F、N分別為PD、PC的中點
∴FN∥CD，F(xiàn)N=

1

2

CD
∵ABCD為矩形，
∴AM∥CD，AM=

1

2

CD
∴FN∥AM，F(xiàn)N=AM
∴四邊形AMNF為平行四邊形．
（2）由（1）知MN∥AF．
∵

PA⊥α AB?α

⇒PA⊥AB，ABCD是矩形⇒AB⊥AD，PA∩AD=A  
∴AB⊥平面PAD，AF?平面PAD
∴AB⊥AF，AF∥MN
∴AB⊥MN
（3）∵MN∥AF
∴∠PAF是異面直線PA與MN所成的角
在三角形PAD中
由

PA=AD F是PD的中點

⇒

AF為∠PAD的角平分線 ∠PAD=90°

⇒∠PAF=45°
故所求角為45°．

點評：本題考查了平行公理，線面垂直的性質(zhì)及判定，異面直線所成的角的作法，證法，求法，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的思想方法