Question

已知函數(shù)f(x)=(

x

m

-1)2+(

n

x

-1)2的定義域?yàn)閇m，n]，且1≤m＜n≤2．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）證明：對(duì)任意x₁、x₂∈[m，n]，不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜1．

Answer 1

（1）f(x)=(

x

m

-1)2+(

n

x

-1)2
=

x2

m2

+

n2

x2

 -

2x

m

-

2n

x

+2，
∴f′(x)=

2x

m2

-

2n2

x3

-

2

m

+

2n

x2

=

2

m2x3

(x4-m2n2-mx3+m2nx)
=

2

m2x3

(x2-mx+mn)(x+

mn

)(x-

mn

)，
∵1≤m≤x＜n≤2，
∴

2

m2x3

＞0，
x²-mx+mn=x（x-m）+mn＞0，
x+

mn

＞0，
令f′（x）=0，得x=

mn

，
當(dāng)x∈[m，

mn

]時(shí)，f′（x）＞0，
當(dāng)x∈[

mn

，n]時(shí)，f′（x）＜0．
∴f（x）在[m，

mn

]內(nèi)，單調(diào)遞減；
在[

mn

，n]內(nèi)，單調(diào)遞增．
（2）由（1）知，f（x）在[m，n]上的最小值為f（

mn

）=2(

n m

-1)2，
最大值為f（m）=(

n

m

-1)2，
對(duì)任意x₁，x₂∈[m，n]，
|f（x₁）-f（x₂）|≤(

n

m

-1)2-2(

n m

-1)2
=(

n

m

)2-4• 

n

m

+4

n m

-1，
令μ=

n m

，h（μ）=μ⁴-4μ²+4μ-1，
∵1≤m＜n≤2，
∴1＜

n

m

≤2，
即1＜μ≤

2

，
∵h(yuǎn)（μ）=4μ³-8μ+4
=4(μ-1)(μ-

5 -1

2

)(μ+

5 +1

2

)＞0，
∴h（μ）在（1，

2

）上是增函數(shù)，
∴h（μ）≤h(

2

)=4-8+4

2

-1
=4

2

-5＜1，
∴對(duì)任意x₁、x₂∈[m，n]，不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜1．