Question

設(shè)拋物線C：x²=2py（p＞0），F(xiàn)為焦點(diǎn)，拋物線C上一點(diǎn)P（m，3）到焦點(diǎn)的距離是4，拋物線C的準(zhǔn)線l與y軸的交點(diǎn)為H
（1）求拋物線C的方程；
（2）設(shè)M是拋物線C上一點(diǎn)，E（0，4），延長(zhǎng)ME、MF分別交拋物線C于點(diǎn)A、B，若A、B、H三點(diǎn)共線，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由拋物線的定義，結(jié)合P到焦點(diǎn)的距離為4建立關(guān)于p的方程，解出p=2即得拋物線C方程；
（2）設(shè)M（t，

t2

4

），由點(diǎn)斜式可寫出直線MF、ME的方程，分別與拋物線方程聯(lián)立可解出點(diǎn)B、點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù)A、B、H三點(diǎn)共線，得k_AH=k_BH，由此可解出t值；

解答：解：（1）由題意得拋物線C的準(zhǔn)線l方程為：y=-

p

2

，
因?yàn)閽佄锞�C上的點(diǎn)P（m，3）到焦點(diǎn)的距離是4，得3-（-

p

2

）=4，解得P=2
所以拋物線方程為：x²=4y．
（2）設(shè)M（t，

t2

4

），又直線過(guò)點(diǎn)F（0，1），則直線MF方程為y-1=

t2-4

4t

x，
過(guò)點(diǎn)E（0，4）直線ME方程為y-4=

t2-16

4t

x，
由

y-1= t2-4 4t x x2=4y

，得B（-

4

t

，

4

t2

），
由

y-4= t2-16 4t x x2=4y

，得A（-

16

t

，

64

t2

），
則k_AH=

64 t2 +1

- 16 t

=

64+t2

-16t

，k_BH=

- 4 t2 +1

- 4 t

=

4+t2

-4t

，
∵A、B、H三點(diǎn)共線，∴k_AH=k_BH，即

64+t2

-16t

=

4+t2

-4t

解得t=±4，
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（±4，4）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于難題．