Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，BB₁=2，E為BB₁中點(diǎn)，平面AEC₁交DD₁于F，交A₁D₁的延長線于G．
（1）求證：CC₁∥平面FGD₁；
（2）求異面直線BD與AF所成的角的大小．

Answer 1

分析：（1）由長方體的側(cè)棱平行，可得線線平行，再由線線平行證明線面平行；
（2）建立空間坐標(biāo)系得用向量法解決這個(gè)立體幾何問題，建立空間坐標(biāo)系，給出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出異面直線BD與AF的方向向量，利用利用夾角公式求異面直線AE與A₁F所成角的余弦值即可．

解答：解：（1）證明：由長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，CC₁∥DD₁，
∵DD₁?平面FGD₁，CC₁?平面FGD₁，
∴CC₁∥平面FGD₁．
（2）以A₁為原點(diǎn)，A₁B₁，A₁D₁，A₁A所在直線分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
于是，A（0，0，2），B（1，0，2），D（0，1，2），E（1，0，1），C₁（1，1，0），

BD

=（-1，1，0）．
因?yàn)镋C₁和AF是平行平面BB₁C₁C和AA₁D₁D與平面AEC₁G的交線，
所以EC₁∥AF．設(shè)F（0，1，z），
則

AF

=（0，1，z-2）．

EC1

=（0，1，-1），由EC₁∥AF，得z=1，
∴

AF

=（0，1，-1），∴cos＜

AF

，

BD

＞=

AF • BD

| AF || BD |

=

1

2 × 2

=

1

2

，
＜

AF

，

BD

＞=

π

3

，
∴異面直線BD與AF所成的角為

π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線面平行的證明，考查了異面直線所成的角及其求法，考查了利用向量坐標(biāo)運(yùn)算求向量的夾角，考查了學(xué)生的空間想象能力，運(yùn)算能力．