設(shè)a，b，c（a≠0）為實(shí)數(shù)，且方程組
ax2+bx+c=y
ay2+by+c=x
恰有唯一一組實(shí)數(shù)解，用反證法證明：（b-1）2=4ac．
分析：利用反證法的證明方法，通過假設(shè)（b-1）2＞4ac，說明方程有實(shí)數(shù)解，不是一組，推出矛盾；（b-1）2＜4ac時(shí)，方程組無實(shí)數(shù)解，得到矛盾，說明原等式成立．
解答：證明：若（b-1）2＞4ac，則方程at2+（b-1）t+c=0有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，
設(shè)為α，β．則（x，y）=（α，α）與（x，y）=（β，β）都為原方程的實(shí)數(shù)解．
與恰有唯一一組實(shí)數(shù)解矛盾．若（b-1）2＜4ac，此時(shí)只需證明原方程組無實(shí)數(shù)解，
不妨設(shè)a＞0，故對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y都有ax2+bx+c＞x，ay2+by+c＞y，從而ax2+bx+c+ay2+by+c＞x+y，
故不存在實(shí)數(shù)對(duì)（x，y）使原方程組成立．
綜上，（b-1）2=4ac．
點(diǎn)評(píng)：本題考查反證法證明等式的證明方法，考查分析問題解決問題的能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)
a
，
b
，
c
是任意的非零平面向量，且相互不共線，則下列命題中，真命題的序號(hào)是（　　）
①(
a
•
b
)
c
-(
c
•
a
)
b
=0     
②丨
a
|-|
b
|＜丨
a
-
b
丨
③(
b
•
c
)
a
-(
c
•
a
)
b
不與
c
垂直
④(3
a
+2
b
)•(3
a
-2
b
)=9|
a
|2-4|
b
|2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：013

(2005全國Ⅱ，5)設(shè)a、b、c、，若為實(shí)數(shù)，則

[　　]

　　 　　 　　 　　
　　

A．bc＋ad≠0 　　 　　

　　		 　　

B．bc－ad≠0 　　 　　

　　
　　

C．bc－ad=0 　　 　　

　　		 　　

D．bc＋ad=0 　　 　　

　　

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

設(shè)
a
，
b
，
c
是任意的非零平面向量，且相互不共線，則下列命題中，真命題的序號(hào)是（　　）
①(
a
•
b
)
c
-(
c
•
a
)
b
=0     
②丨
a
|-|
b
|＜丨
a
-
b
丨
③(
b
•
c
)
a
-(
c
•
a
)
b
不與
c
垂直
④(3
a
+2
b
)•(3
a
-2
b
)=9|
a
|2-4|
b
|2．
A．①②B．②③C．③④D．②④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：專項(xiàng)題 題型：單選題

設(shè)a，b，c為實(shí)數(shù)，f(x)=(x+a)(x2+bx+c)，g(x)=(ax+1)(cx2+bx+1)。記集合S={x|f(x)=0，x∈R}，T={x|g(x)=0，x∈R} ，若|S|，|T|分別為集合S，T的元素個(gè)數(shù)，則下列結(jié)論不可能的是
[     ]
A、|S|=1且|T|=0
B、|S|=1且|T|=1
C、|S|=2且|T|=2
D、|S|=2且|T|=3

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