設函數(shù)f（x）=sin（2x+
π
6
）+cos2x+
3
sinx•cosx．
（1）求函數(shù)f（x）的最大值和最小正周期．
（2）設A，B，C為△ABC的三個內角，若cosB=
1
3
，f（
C
2
）=
5
2
，求sinA．
分析：（1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式為2sin（2x+
π
6
）+
1
2
，由此求出函數(shù)f（x）的
最大值以及最小正周期．
（2）根據(jù)cosB=
1
3
，f（
C
2
）=
5
2
，求出C=
π
3
，再由sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，運算求得結果．
解答：解：（1）函數(shù)f（x）=sin（2x+
π
6
）+cos2x+
3
sinx•cosx=
3
2
sin2x+
1
2
cos2x+
1+cos2x
2
+
3
2
sin2x
=
3
sin2x+cos2x+
1
2
=2sin（2x+
π
6
）+
1
2
，
所以函數(shù)f（x）的最大值是
5
2
，最小正周期為π．
（2）f（
C
2
）=2sin（C+
π
6
）+
1
2
=
5
2
，所以，2sin（C+
π
6
）=1，
又C為△ABC的內角，所以C=
π
3
．
又因為在△ABC 中，cosB=
1
3
，所以，sinB=
2
2
3
，
所以，sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=
2
2
+
3
6
．
點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，復合三角函數(shù)的周期性和求法，求復合三角函數(shù)的值域，
屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）（-π＜φ＜0），y=f（x）的圖象過點（
π8
，-1）．
（1）求φ；  
（2）求函數(shù)y=f（x）的周期和單調增區(qū)間；
（3）在給定的坐標系上畫出函數(shù)y=f（x）在區(qū)間，[0，π]上的圖象．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）=sin（2π+?）（-π＜?＜0），y=f（x）圖象的一條對稱軸是直線x=
π8
．
（Ⅰ）求?；
（Ⅱ）求函數(shù)y=f（x）的單調增區(qū)間；
（Ⅲ）證明直線5x-2y+c=0與函數(shù)y=f（x）的圖象不相切．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）（-π＜φ＜0），y=f（x）圖象的一條對稱軸是直線x=
π8
．
（1）求φ；
（2）怎樣由函數(shù)y=sin x的圖象變換得到函數(shù)f（x）的圖象，試敘述這一過程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f （x）=sin(2x+
π
3
)+
3
3
sin2x-
3
3
cos2x．
（1）求f（x）的最小正周期及其圖象的對稱軸方程；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移
π
3
個單位長度，得到函數(shù)g（x）的圖象，求g （x）在區(qū)間[-
π
6
，
π
3
]上的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，-
π
2
＜?＜
π
2
），給出以下四個論斷：
①它的圖象關于直線x=
π
12
對稱；        
②它的周期為π；
③它的圖象關于點（
π
3
，0）對稱；      
④在區(qū)間[-
π
6
，0]上是增函數(shù)．
以其中兩個論斷作為條件，余下兩個論斷作為結論，寫出你認為正確的兩個命題：
（1）
①③⇒②④
①③⇒②④
； （2）
①②⇒③④
①②⇒③④
．

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