Question

已知函數(shù)f（x）=

x

4

+

1

16x

+

1

x+ 1 4x

+a（x＞0）恰有兩個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：令t=x+

1

4x

≥1，設f（x）=g（t）=

t

4

+

1

t

+a，經(jīng)檢驗，t=1不滿足條件，故有t＞1，每一個t值對應了2個x值．由題意可得，直線y=-a（紅線部分）和函數(shù)y=

t

4

+

1

t

的圖象（藍線）在（1，+∞）上只有一個交點，數(shù)形結(jié)合可得-a＞

5

4

，或-a=1，由此求得a的范圍．

解答：解：令t=x+

1

4x

≥1，則t′=1-

1

4x2

，令t′=0，由x＞0可得，在（0，

1

2

）上，t′＜0；
在[

1

2

，+∞）上，t′＞0．
故函數(shù)t=x+

1

4x

在（0，

1

2

）上是減函數(shù)，在[

1

2

，+∞）上是增函數(shù)．
設f（x）=g（t）=

t

4

+

1

t

+a．
當x=

1

2

時，t取得最小值為1，此時，a=-

5

4

，不滿足函數(shù)f（x）=

x

4

+

1

16x

+

1

x+ 1 4x

+a（x＞0）恰有兩個不同的零點．
∴應有 t＞1，故每一個t值對應了2個x值，
故直線y=-a（紅線部分）和函數(shù)y=

t

4

+

1

t

 的圖象（藍線）在（1，+∞）上只有一個交點，
如圖所示：
故有-a＞

5

4

，或-a=1，解得a＜-

5

4

，或a=-1，
故答案為：{a|a＜-

5

4

，或a=-1}．

點評：本題主要考查函數(shù)的零點個數(shù)的判斷方法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想．