Question

已知△ABC的兩個頂點(diǎn)B（-1，0），C（1，0），直線AB，AC所在直線的斜率之積等于m（m≠0），探求頂點(diǎn)A的軌跡．

Answer 1

考點(diǎn)：與直線有關(guān)的動點(diǎn)軌跡方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，由AC，BC所在直線的斜率之積等于m（m≠0）列式整理得到頂點(diǎn)C的軌跡E的方程，然后分m的不同取值范圍判斷軌跡E為何種圓錐曲線．

解答： 解：設(shè)點(diǎn)C（x，y），由AC，BC所在直線的斜率之積等于m（m≠0），
得：

y

x+1

•

y

x-1

=m，化簡得：mx²-y²=m（y≠0）．
當(dāng)m＜-1時(shí)，軌跡E表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，且除去B（-1，0），C（1，0）兩點(diǎn)；
當(dāng)m=-1時(shí)，軌跡E表示以（0，0）為圓心，半徑是1的圓，且除去B（-1，0），C（1，0），兩點(diǎn)；
當(dāng)-1＜m＜0時(shí)，軌跡E表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，且除去B（-1，0），C（1，0），兩點(diǎn)；
當(dāng)m＞0時(shí)，軌跡E表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，且除去B（-1，0），C（1，0），兩點(diǎn)．

點(diǎn)評：本題考查了與直線有關(guān)的動點(diǎn)軌跡方程，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題．