Question

(本小題滿分11分)  已知函數(shù)，其中．

 (1) 當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；

(2) 證明：對任意，在區(qū)間內(nèi)存在零點．

 

Answer 1

【答案】

 

解:(1) (I) 的單調(diào)增區(qū)間是，，單調(diào)減區(qū)間是．

(II) 的單調(diào)增區(qū)間是，，單調(diào)減區(qū)間是．

 (2) (I)對任意，在區(qū)間內(nèi)存在零點．

(II)對任意，在區(qū)間內(nèi)存在零點．

 

【解析】本試題主要是考查了函數(shù)的零點的概念，以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求解的綜合運用。

（1）利用導(dǎo)數(shù)的思想，先分析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后確定參數(shù)t的值對于單調(diào)區(qū)間的影響，分類討論得到結(jié)論。

（2）由上可知，當(dāng)時，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增．需要討論與討論的區(qū)間的相互位置關(guān)系，然后得到結(jié)論。

解:(1) ，令，解得或．…………1分

因為，所以要分為和討論．

(I) 若,則.

當(dāng)變化時，，的變化情況如下表：

	單調(diào)遞增	單調(diào)遞減	單調(diào)遞增

所以，的單調(diào)增區(qū)間是，，單調(diào)減區(qū)間是．…………3分

(II) 若,則.

當(dāng)變化時，，的變化情況如下表：　　

	單調(diào)遞增	單調(diào)遞減	單調(diào)遞增

所以，的單調(diào)增區(qū)間是，，單調(diào)減區(qū)間是．…………5分

 (2) 由(Ⅱ)可知，當(dāng)時，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增．需要討論與討論的區(qū)間的相互位置關(guān)系．

(I) 當(dāng)，即時，在內(nèi)單調(diào)遞減，

因為，，

所以對任意，在區(qū)間內(nèi)存在零點．…………7分

(II) 當(dāng)，即時，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增．

若，，

．

所以對任意，在區(qū)間內(nèi)存在零點．

若，，

．

所以對任意，在區(qū)間內(nèi)存在零點．

所以對任意，在區(qū)間內(nèi)存在零點．

綜上，對任意，在區(qū)間內(nèi)存在零點．…………11分