Question

（2012•汕頭二模）設函數f(x)=-

1

3

x3+x2+(a2-1)x，其中a＞0．
（1）若函數y=f（x）在x=-1處取得極值，求a的值；
（2）已知函數f（x）有3個不同的零點，分別為0、x₁、x₂，且x₁＜x₂，若對任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）＞f（1）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導函數，利用函數y=f（x）在x=-1處取得極值，可得f′（-1）=0，求出a的值，檢驗可得結論；
（2）先確定-

1

3

x2+x+a2-1=0有兩個相異的實根x₁、x₂，再進行分類討論，利用對任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）＞f（1）恒成立，即可求a的取值范圍．

解答：解：（1）求導函數，可得f′（x）=-x²+2x+（a²-1）
∵函數y=f（x）在x=-1處取得極值，
∴f′（-1）=0
∴-1-2+（a²-1）=0
∴a=±2
經檢驗，a=2符合題意；
（2）由題意，f(x)=-

1

3

x3+x2+(a2-1)x=x（-

1

3

x2+x+a2-1）=-

1

3

x(x-x1)(x-x2)
∵函數f（x）有3個不同的零點，分別為0、x₁、x₂，
∴-

1

3

x2+x+a2-1=0有兩個相異的實根x₁、x₂，
∴△=1+

4

3

(a2-1)＞0，∴a＜-

1

2

（舍去），或a＞

1

2

且x₁+x₂=3
∵x₁＜x₂，∴2x₂＞x₁+x₂=3，∴x₂＞

3

2

＞1
①若x₁≤1＜x₂，則f（1）=-

1

3

(1-x1)(1-x2)≥0，而f（x₁）=0，不符合題意；
②若1＜x₁＜x₂，則對任意的x∈[x₁，x₂]，有x-x₁≥0，x-x₂≤0，
∴f(x)=-

1

3

x(x-x1)(x-x2)≥0
又f（x₁）=0，∴f（x）在[x₁，x₂]上的最小值為0
∴對任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）＞f（1）恒成立，等價于f（1）=a2-

1

3

＜0
∴-

3

3

＜a＜

3

3

綜上可得a的取值范圍為(

1

2

，

3

3

)．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的極值，考查恒成立問題，考查分類討論的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，綜合性強．