Question

四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD=CD=1，∠BAD=120°，PA=

3

，∠ACB=90°．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角D-PC-A的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由PA⊥底面ABCD，BC?底面ABCD，知PA⊥BC，由此能夠證明BC⊥平面PAC．
（Ⅱ）法一：由∠BAD=120°，AB∥CD，知∠ADC=60°，由AD=CD=1，知△ADC為正三角形以A為原點(diǎn)，CD邊的中線所在直線為x軸，直線AB為y軸，AP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能夠求出二面角D-PC-A的平面角的余弦值．
法二：（三垂線法作二面角的平面角）取AC中點(diǎn)M，則DM⊥AC，又PA⊥DM，所以DM⊥面PAC，從而DM⊥PC，作MN⊥PC于N，則PC⊥面DMN，所以∠DNM即為二面角D-PC-A的平面角，由此能求出二面角D-PC-A的平面角的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）證明：∵PA⊥底面ABCD，BC?底面ABCD，
∴PA⊥BC，又AB∥CD，AD=CD=1，∠BAD=120°，∠ACB=90°，
所以BC⊥AC，而AC∩PA=A，
所以BC⊥平面PAC；
（Ⅱ）（方法一）∵∠BAD=120°，AB∥CD，
∴∠ADC=60°，又AD=CD=1，
∴△ADC為正三角形
以A為原點(diǎn)，CD邊的中線所在直線為x軸，直線AB為y軸，AP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，
則A(0，0，0)，P(0，0，

3

)，D(

3

2

，-

1

2

，0)，C(

3

2

，

1

2

，0)，B(0，2，0)，
由（1）取面PAC的法向量

BC

=(

3

2

，-

3

2

，0)，
由于AB∥CD，知AB∥面PCD，
故可設(shè)面PCD的法向量

n

=(x，0，1)，
則

n

•

DP

=(x，0，1)•(-

3

2

，

1

2

，

3

)=-

3

2

x+

3

=0，
∴x=2，即

n

=(2，0，1)，
∴cos＜

n

，

BC

＞=

n • BC

| n |•| BC |

=

3

5 • 3 4 + 9 4

=

5

5

，
所以，二面角D-PC-A的平面角的余弦值為

5

5

．
（方法二：三垂線法作二面角的平面角）取AC中點(diǎn)M，
則DM⊥AC，又PA⊥DM，
所以DM⊥面PAC，從而DM⊥PC，
作MN⊥PC于N，則PC⊥面DMN，
所以∠DNM即為二面角D-PC-A的平面角，
由題設(shè)條件求得DM=

3

2

，MN=CM•sin

π

3

=

3

4

，
所以DN=

DM2+MN2

=

15

4

，
于是cos∠DNM=

MN

DN

=

5

5

，
即二面角D-PC-A的平面角的余弦值為

5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地選擇解題方法．