Question

（2012•楊浦區(qū)一模）若橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞1）內(nèi)有圓x²+y²=1，該圓的切線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，且滿足

OA

•

OB

=0（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則9a²+16b²的最小值是

49

．

Answer 1

分析：設(shè)切線方程為y=kx+m，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合

OA

•

OB

=0，可得a²（m²-b²k²-b²）+m²b²=0，利用y=kx+m是單位圓的切線，可得m²=k²+1，從而可得a²+b²=a²b²，可得a²＞2，b²=

a2

a2-1

=1+

1

a2-1

，由此可求9a²+16b²的最小值．

解答：解：設(shè)切線方程為y=kx+m，代入橢圓方程得關(guān)于x的一元二次方程（b²+a²k²）x²-2a²kmx+a²m²-a²b²=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

-2a2km

a2k2+b2

，x₁x₂=

a2(m2-b2)

a2k2+b2

∵

OA

•

OB

=0
∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0
∴（k²+1）a²（m²-b²）-2k²m²a²+m2（a²k²+b²）=0
∴a²（m²-b²k²-b²）+m²b²=0（*）
因?yàn)閥=kx+m是單位圓的切線，所以

|m|

k2+1

=1，即m²=k²+1
代入（*）式子，得到a²（1-b²）m²+m²b²=0，所以a²+b²=a²b²
由于a＞b，所以a²b²=a²+b²＞2b²，∴a²＞2
∵b²=

a2

a2-1

=1+

1

a2-1

代入得9a²+16b²=9a²+

16

a2-1

+16=9（a²-1）+

16

a2-1

+25≥49
當(dāng)且僅當(dāng)a²-1=

4

3

時(shí)取到最小值
故答案為：49

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的綜合，考查圓的切線，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查基本不等式求最值，利用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．