Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx是R上的奇函數(shù)，且f（1）=3，f（2）=12．
（1）求a，b，c的值；
（2）證明：函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)；
（3）若關(guān)于x的不等式f（x²-4）+f（kx+2k）＜0在（0，1）上恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性性和條件，建立方程即可求a，b，c的值；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義直接證明函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)；
（3）根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決恒成立問題．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx是R上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
∴b=0，
∵f（1）=3，f（2）=12．
∴

a+c=3 8a+2c=12

，
解得

a=1 c=2

，
∴a，b，c的值分別為1，0，12；
（2）由（1）得f（x）=x³+2x，
設(shè)x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，
∴f(x1)-f(x2)=

x

3 1

+2x1-(

x

3 2

+2x2)
=(x1-x2)[(x1+

1

2

x2)2+

3

4

x22+2]，
∵x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0
∴f（x_1）-f（x₂）＜0，
∴函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)；
（3）由（1）和（2）得到函數(shù)為奇函數(shù)且為增函數(shù)，
∵關(guān)于x的不等式f（x²-4）+f（kx+2k）＜0在（0，1）上恒成立，
∴f（x²-4）＜-f（kx+2k），
∴f（x²-4）＜f（-kx-2k）在（0，1）上恒成立，
∴x²-4＜-kx-2k在（0，1）上恒成立，
∴x²+kx+2k-4＜0在（0，1）上恒成立，
設(shè)g（x）=x²+kx+2k-4，
∴

g(0)≤0 g(1)≤0

，
∴

2k-4≤0 3k-3≤0

，
∴k≤1，
∴k的取值范圍為（-∞，1]．

點評：本題重點考查函數(shù)的基本性質(zhì)，函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題，難度中等，