給定函數(shù)f(x)=
x3
3
-ax2+(a2-1)x
g(x)=x+
a2
x

(I)求證:f(x)總有兩個(gè)極值點(diǎn);
(II)若f(x)和g(x)有相同的極值點(diǎn),求a的值.
證明:(I)因?yàn)閒'(x)=x2-2ax+(a2-1)=[x-(a+1)][x-(a-1)],
令f'(x)=0,則x1=a+1,x2=a-1,------------------------------------------(2分)
則當(dāng)x<a-1時(shí),f'(x)>0,當(dāng)a-1<x<a+1,f'(x)<0
所以x=a-1為f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn),-----------------------(4分)
同理可證x=a+1為f(x)的一個(gè)極小值點(diǎn).-------------------------------------(5分)
另(I)因?yàn)閒′(x)=x2-2ax+(a2-1)是一個(gè)二次函數(shù),
且△=(-2a)2-4(a2-1)=4>0,-------------------------------------(2分)
所以導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),
又因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)是一個(gè)二次函數(shù),
所以函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).---------------------------------------(5分)
(II) 因?yàn)?span mathtag="math" >g′(x)=1-
a2
x2
=
(x-a)(x+a)
x2

令g'(x)=0,則x1=a,x2=-a---------------------------------------(6分)
因?yàn)閒(x)和g(x)有相同的極值點(diǎn),且x1=a和a+1,a-1不可能相等,
所以當(dāng)-a=a+1時(shí),a=-
1
2
,當(dāng)-a=a-1時(shí),a=
1
2

經(jīng)檢驗(yàn),a=-
1
2
a=
1
2
時(shí),x1=a,x2=-a都是g(x)的極值點(diǎn).--------------(8分)
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)滿足對任意實(shí)數(shù)x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+1成立,且當(dāng)x>0時(shí),f(x)>-1,f(1)=0.
(1)求f(5)的值;
(2)判斷f(x)在R上的單調(diào)性,并證明;
(3)若對于任意給定的正實(shí)數(shù)ε,總能找到一個(gè)正實(shí)數(shù)σ,使得當(dāng)|x-x0|<σ時(shí),|f(x)-f(x0)|<ε,則稱函數(shù)f(x)在x=x0處連續(xù).試證明:f(x)在x=0處連續(xù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

給定函數(shù)f(x)=
x3
3
-ax2+(a2-1)x
g(x)=x+
a2
x

(I)求證:f(x)總有兩個(gè)極值點(diǎn);
(II)若f(x)和g(x)有相同的極值點(diǎn),求a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f(x),如果存在函數(shù)g(x)=Ax+B(A,B為常數(shù)),使得f(x)≥g(x)對一切實(shí)數(shù)x都成立,那么稱g(x)為函數(shù)f(x)的一個(gè)承托函數(shù).
下列說法正確的有:
①②
①②
.(寫出所有正確說法的序號(hào))
①對給定的函數(shù)f(x),其承托函數(shù)可能不存在,也可能有無數(shù)個(gè);
②g(x)=ex為函數(shù)f(x)=ex的一個(gè)承托函數(shù);
③函數(shù)f(x)=
x
x2+x+1
不存在承托函數(shù);
④函數(shù)f(x)=
1
5x2-4x+11
,若函數(shù)g(x)的圖象恰為f(x)在點(diǎn)p(1,
1
2
)
處的切線,則g(x)為函數(shù)f(x)的一個(gè)承托函數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義在R上的函數(shù)f(x),如果存在函數(shù)g(x)=kx+b(k,b為常數(shù)),使得f(x)≥g(x)對一切實(shí)數(shù)x都成立,則稱g(x)為函數(shù)f(x)的一個(gè)“承托函數(shù)”.現(xiàn)有如下命題:
①g(x)=2x為函數(shù)f(x)=2x的一個(gè)承托函數(shù);
②若g(x)=kx-1為函數(shù)f(x)=xlnx的一個(gè)承托函數(shù),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是[1,+∞);
③定義域和值域都是R的函數(shù)f(x)不存在承托函數(shù);
④對給定的函數(shù)f(x),其承托函數(shù)可能不存在,也可能有無數(shù)個(gè).
其中正確的命題是

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=ax2+2bx+4c(a,b,c∈R,a≠0).
(1)若函數(shù)f(x)的圖象與直線y=±x均無公共點(diǎn),求證:4b2-16ac<-1;
(2)若b=4,c=
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時(shí),對于給定的負(fù)數(shù)a,有一個(gè)最大的正數(shù)M(a),使x∈[0,M(a)]時(shí),都有|f(x)|≤5,求a為何值時(shí)M(a)最大?并求M(a)的最大值;
(3)若a>0,且a+b=1,又|x|≤2時(shí),恒有|f(x)|≤2,求f(x)的解析式.

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