證明:(I)因?yàn)閒'(x)=x
2-2ax+(a
2-1)=[x-(a+1)][x-(a-1)],
令f'(x)=0,則x
1=a+1,x
2=a-1,------------------------------------------(2分)
則當(dāng)x<a-1時(shí),f'(x)>0,當(dāng)a-1<x<a+1,f'(x)<0
所以x=a-1為f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn),-----------------------(4分)
同理可證x=a+1為f(x)的一個(gè)極小值點(diǎn).-------------------------------------(5分)
另(I)因?yàn)閒′(x)=x
2-2ax+(a
2-1)是一個(gè)二次函數(shù),
且△=(-2a)
2-4(a
2-1)=4>0,-------------------------------------(2分)
所以導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),
又因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)是一個(gè)二次函數(shù),
所以函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).---------------------------------------(5分)
(II) 因?yàn)?span mathtag="math" >g′(x)=1-
=
,
令g'(x)=0,則x
1=a,x
2=-a---------------------------------------(6分)
因?yàn)閒(x)和g(x)有相同的極值點(diǎn),且x
1=a和a+1,a-1不可能相等,
所以當(dāng)-a=a+1時(shí),
a=-,當(dāng)-a=a-1時(shí),
a=,
經(jīng)檢驗(yàn),
a=-和
a=時(shí),x
1=a,x
2=-a都是g(x)的極值點(diǎn).--------------(8分)