Question

在數(shù)列{a_n}中，a_n+1+a_n=2n-44（n∈N*，）a₁=-23
（1）求a_n；（2）設(shè)S_n為{a_n}的前n項(xiàng)和，求S_n的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由a_n+1+a_n=2n-44得a_n+2+a_n+1=2（n+1）-44，兩式相減得出得a_n+2-a_n=2，奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列且公差為2．求出a₂=1-19
對(duì)n分奇偶數(shù)寫出通項(xiàng)公式．
（2）對(duì)n分奇偶數(shù)求和，注意分組，根據(jù)a_n+1+a_n=2n-44相鄰兩項(xiàng)結(jié)合，逐類求解，再取最小值．
解答：解：（1）∵a_n+1+a_n=2n-44①∴a_n+2+a_n+1=2（n+1）-44②，②-①得a_n+2-a_n=2，
∴數(shù)列{a_n}中，奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列且公差為2．
由已知，a₁+a₂=2-44=-42，a₂=-19
當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，a_n=a₁+（）×2=n-24．
當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，a_n=a₂+（ ）×2=n-21．
∴a_n=
（2）當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，
S_n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_n-2+a_n-1）+a_n
=2[1+3+…（n-2）]-44×+（n-24）
=2×-44×+（n-24）
=n²-22n-=（n-22）²-
當(dāng)n=21或23時(shí)取得最小值-243．
當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，
S_n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_n-1+a_n）
=2[（1+3+…+（n-1）]-×44
=2×-22n
=（n-22）²-242
當(dāng)n=22時(shí)取得最小值-242．
所以當(dāng)n=21或23時(shí)S_n取得最小值-243．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式求解，數(shù)列求和．考查構(gòu)造、分類討論、計(jì)算能力．