【題目】已知動點M到定點F1(-2,0)和F2(2,0)的距離之和為.
(1)求動點M的軌跡C的方程;
(2)設N(0,2),過點P(-1,-2)作直線l,交曲線C于不同于N的兩點A,B,直線NA,NB的斜率分別為k1,k2,求k1+k2的值.
【答案】(1);(2)4
【解析】
本題考查橢圓的基本量間的關系及韋達定理的應用
(1)考查橢圓的基本量間的關系
(2)是直線與橢圓相交于兩點,先設出兩點坐標,本題的突破口是在消參后的方程中找出兩根之和、兩根之積,整理斜率的表達式,在本問中需考慮直線的斜率是否存在
解:(1)由橢圓的定義,可知點M的軌跡是以F1,F2為焦點,為長軸長的橢圓.
由c=2,a=2 ,得b=2.
故動點M的軌跡C的方程為.
(2)當直線l的斜率存在時,設其方程為y+2=k(x+1),
由得(1+2k2)x2+4k(k-2)x+2k2-8k=0.
Δ=[4k(k-2)]2-4(1+2k2)(2k2-8k)>0,則k>0或k<-
設A(x1,y1),B(x2,y2),則 , .
從而
當直線l的斜率不存在時,得
所以k1+k2=4.
綜上,恒有k1+k2=4.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列中,,且點()在直線上.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)對任意的,將數(shù)列落入?yún)^(qū)間內(nèi)的項的個數(shù)記為,求的通項公式;
(3)對于(2)中,記,數(shù)列前項和為,求使等式成立的所有正整數(shù)、的值.
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【題目】《流浪地球》是由劉慈欣的科幻小說改編的電影,在2019年春節(jié)檔上影,該片上影標志著中國電影科幻元年的到來;為了振救地球,延續(xù)百代子孫生存的希望,無數(shù)的人前仆后繼,奮不顧身的精神激蕩人心,催人奮進.某網(wǎng)絡調(diào)查機構(gòu)調(diào)查了大量觀眾的評分,得到如下統(tǒng)計表:
評分 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
頻率 | 0.03 | 0.02 | 0.02 | 0.03 | 0.04 | 0.05 | 0.08 | 0.15 | 0.21 | 0.36 |
(1)求觀眾評分的平均數(shù)?
(2)視頻率為概率,若在評分大于等于8分的觀眾中隨機地抽取1人,他的評分恰好是10分的概率是多少?
(3)視頻率為概率,在評分大于等于8分的觀眾中隨機地抽取4人,用表示評分為10分的人數(shù),求的分布列及數(shù)學期望.
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【題目】在平面直角坐標系中,已知曲線上的動點到點的距離與到直線的距離相等.
(1)求曲線的軌跡方程;
(2)過點分別作射線、交曲線于不同的兩點、,且以為直徑的圓經(jīng)過點.試探究直線是否過定點?如果是,請求出該定點;如果不是,請說明理由.
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【題目】設等差數(shù)列的前項和為,且,.數(shù)列的前項和為,滿足.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)寫出一個正整數(shù),使得是數(shù)列的項;
(3)設數(shù)列的通項公式為,問:是否存在正整數(shù)和,使得,,成等差數(shù)列?若存在,請求出所有符合條件的有序整數(shù)對;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知圓,橢圓的短半軸長等于圓的半徑,且過右焦點的直線與圓相切于點.
(1)求橢圓的方程;
(2)若動直線與圓相切,且與相交于兩點,求點到弦的垂直平分線距離的最大值.
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【題目】如圖所示,是一塊邊長為7米的正方形鐵皮,其中是一半徑為6米的扇形,已經(jīng)被腐蝕不能使用,其余部分完好可利用.工人師傅想在未被腐蝕部分截下一個有邊落在BC與CD上的長方形鐵皮,其中P是上一點.設,長方形的面積為S平方米.
(1)求S關于的函數(shù)解析式;
(2)設,求S關于t的表達式以及S的最大值.
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【題目】已知AB是圓O的直徑,C,D是圓上不同兩點,且,,圓O所在平面.
(1)求直線PB與CD所成角;
(2)若PB與圓O所在平面所成角為,且,求二面角的余弦值.
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