Question

判斷函數(shù)f(x)=4x+x2-

2

3

x3在區(qū)間[-1，1]上零點的個數(shù)，并說明理由．

Answer 1

分析：先求f（1），f（-1）的值再判斷函數(shù)在[-1，1]上的單調(diào)性，由區(qū)間兩個端點的值以及函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)零點的個數(shù)．

解答：解：∵f(-1)=-4+1+

2

3

=-

7

3

＜0，f(1)=4+1-

2

3

=

13

3

＞0
∴f（x）在[-1，1]上有零點．
又f′(x)=4+2x-2x2=

9

2

-2(x-

1

2

)2，
當-1≤x≤1時，0≤f′(x)≤

9

2

，
∴f（x）在[-1，1]上是單調(diào)遞增函數(shù)，
∴f（x）在[-1，1]上有只有一個零點．

點評：本題考點是函數(shù)零點的判定定理，考查函數(shù)在某個區(qū)間上的零點個數(shù)問題，解決此類問題要把區(qū)間上的單調(diào)性與區(qū)間端點的值以及區(qū)間內(nèi)的極值都求出來，由這些特征即可判斷出函數(shù)在這個區(qū)間上的零點的個數(shù)．