Question

已知函數(shù)f（x）=2-

1

x

，數(shù)列{a_n}滿足a_n=f（a_n-1）（n≥2，n?N^*）．若a1=

3

5

，數(shù)列{b_n}滿足bn=

1

an-1

（1）求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）設(shè)c_n=（2b_n+6）•2^n-1，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)條件，可得an=2-

1

an-1

，由bn=

1

an-1

，兩者結(jié)合可得bn=

an-1

an-1-1

，bn-1=

1

an-1-1

，利用等差數(shù)列的定義即可證明；
（2）根據(jù)題中條件可求得bn=n-

7

2

，c_n=（2n-1）•2^n-1，T_n=1+3×2¹+5×2²+…+（2n-1）•2^n-1，利用錯位相減法可求得T_n．

解答：證明：（1）由已知得：an=2-

1

an-1

（n≥2，n?N^*）．                  …（2分）
∴bn=

1

an-1

=

1

2- 1 an-1 -1

=

an-1

an-1-1

，bn-1=

1

an-1-1

，，…（4分）
∴bn-bn-1=

an-1

an-1-1

-

1

an-1-1

=1 （n≥2，n?N^*）．
∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列．                                   …（6分）
解：（2）由（1）知，數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，首項b1=

1

a1-1

=-

5

2

，公差為1，
則其通項公式bn=-

5

2

+(n-1)•1=n-

7

2

，…（8分）
∴c_n=（2b_n+6）•2^n-1=（2n-1）•2^n-1                    …（10分）
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n=1+3×2¹+5×2²+…+（2n-1）•2^n-1，①
2T_n═1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ②
兩式相減得：
T_n=-1-2（2¹+2²+2³+…+2^n-1）+（2n-1）•2ⁿ=（2n-3）•2ⁿ+3，
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ+3．…（12分）

點評：本題考查等差關(guān)系的確定與數(shù)列的求和，重點考查等差數(shù)列的定義理解與應(yīng)用及錯位相減法求數(shù)列的和，屬于難題．