精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

已知函數f（x）=x2-（a+2）x+alnx（a∈R）．
（I）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（II）若a=4，y=f（x）的圖象與直線y=m有三個交點，求m的取值范圍（其中自然對數的底數e為無理數且e=2.271828…）

解：（I）函數f（x）=x2-（a+2）x+alnx的定義域是（0，+∞）．
①當a≤0時，f'（x）≤0在（0，1]上恒成立，f'（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，∴a≤0時，f（x）的增區(qū)間為[1，+∞），
f（x）的減區(qū)間為（0，1]
②當上恒成立，．
∴．
③當a=2時，f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，∴a=2時，f（x）的增區(qū)間為（0，+∞）．
④當上恒成立，，∴，．
（II）若a=4，由（I）可得f（x）在（0，1]上單調增，在[1，2]上單調減，在[2，+∞）上單調增．
∴f（x）極小值=f（2）=4ln2-8，f（x）極大值=f（1）=-5
∴y=f（x）的圖象與直線y=m有三個交點時m的取值范圍是（4ln2-8，-5）．
分析：（1）先求函數的定義域再求函數的導數，當導數大于0時函數單調遞增，當導數小于0時單調遞減．
（2）由a=4可根據（1）中所求確定函數的增減區(qū)間，求出函數的極小值和極大值即可得到答案．
點評：本題主要考查通過求函數的導數來確定函數的單調區(qū)間的問題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分圖象如圖所示，則f（x）的解析式是（　�。�
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•深圳一模）已知函數f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數t的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源：深圳一模 題型：解答題

已知函數f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數t的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案