Question

【題目】為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對1000位顧客進行獎勵，規(guī)定：每位顧客從一個裝有4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球，球上所標的面值之和為該顧客所獲的獎勵額．
（1）若袋中所裝的4個球中有1個所標的面值為50元，其余3個均為10元，求：
①顧客所獲的獎勵額為60元的概率；
②顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學期望；
（2）商場對獎勵總額的預(yù)算是60000元，并規(guī)定袋中的4個球只能由標有面值10元和50元的兩種球組成，或標有面值20元和40元的兩種球組成．為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設(shè)計，并說明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）設(shè)顧客所獲取的獎勵額為X，
①依題意，得P（X=60）==，
即顧客所獲得獎勵額為60元的概率為，
②依題意得X得所有可能取值為20，60，
P（X=60）=，P（X=20）==，
即X的分布列為

X	60	20
P

所以這位顧客所獲的獎勵額的數(shù)學期望為E（X）=20×+60×=40
（2）根據(jù)商場的預(yù)算，每個顧客的平均獎勵額為60元，所以先尋找期望為60元的可能方案．
對于面值由10元和50元組成的情況，如果選擇（10，10，10，50）的方案，因為60元是面值之和的最大值，所以數(shù)學期望不可能為60元，
如果選擇（50，50，50，10）的方案，因為60元是面值之和的最小值，所以數(shù)學期望也不可能為60元，
因此可能的方案是（10，10，50，50）記為方案1，
對于面值由20元和40元的組成的情況，同理可排除（20，20，20，40）和（40，40，40，20）的方案，所以可能的方案是（20，20，40，40），記為方案2，
以下是對這兩個方案的分析：
對于方案1，即方案（10，10，50，50）設(shè)顧客所獲取的獎勵額為X1 ， 則X1的分布列為

X1	60	20	100
P

X1 的數(shù)學期望為E（X1）=20x+60x+100x=60
X1 的方差D（X1）=(20-60)2x(60-60)2x+(100-60)2x=，
對于方案2，即方案（20，20，40，40）設(shè)顧客所獲取的獎勵額為X2 ， 則X2的分布列為

X2	40	60	80
P

X2 的數(shù)學期望為E（X2）=40x+60x+80x=60，
X2 的方差D（X2）=差D（X1）(40-60)2x(60-60)2x+(80-60)2x=．
由于兩種方案的獎勵額的數(shù)學期望都符合要求，但方案2獎勵額的方差比方案1小，所以應(yīng)該選擇方案2．
【解析】（1）根據(jù)古典概型的概率計算公式計算顧客所獲的獎勵額為60元的概率，依題意得X得所有可能取值為20，60，分別求出P（X=60），P（X=20），畫出顧客所獲的獎勵額的分布列求出數(shù)學期望；
（2）先討論，尋找期望為60元的方案，找到（10，10，50，50），（20，20，40，40）兩種方案，分別求出數(shù)學期望和方差，然后做比較，問題得以解決．