Question

用總長(zhǎng)14.8m的鋼條制成一個(gè)長(zhǎng)方體容器的框架，如果所制做容器的底面的一邊比另一邊長(zhǎng)0.5m，那么高為多少時(shí)容器的容積最大？并求出它的最大容積．

Answer 1

分析：先設(shè)容器底面短邊長(zhǎng)為xm，利用長(zhǎng)方體的體積公式求得其容積表達(dá)式，再利用導(dǎo)數(shù)研究它的單調(diào)性，進(jìn)而得出此函數(shù)的最大值即可．

解答：解：設(shè)容器底面短邊長(zhǎng)為xm，則另一邊長(zhǎng)為（x+0.5）m，
高為

14.8-4x-4(x+0.5)

4

=3.2-2x
由3.2-2x＞0和x＞0，得0＜x＜1.6，
設(shè)容器的容積為ym³，則有y=x（x+0.5）（3.2-2x）（0＜x＜1.6）
整理，得y=-2x³+2.2x²+1.6x，（4分）
∴y'=-6x²+4.4x+1.6（6分）
令y'=0，有-6x²+4.4x+1.6=0，即15x²-11x-4=0，
解得x₁=1，x2=-

4

15

（不合題意，舍去）．（8分）
從而，在定義域（0，1，6）內(nèi)只有在x=1處使y'=0．
由題意，若x過(guò)�。ń咏�0）或過(guò)大（接受1.6）時(shí)，y值很�。ń咏�0），
因此，當(dāng)x=1時(shí)y取得最大值，y_最大值=-2+2.2+1.6=1.8，這時(shí)，高為3.2-2×1=1.2．
答：容器的高為1.2m時(shí)容積最大，最大容積為1.8m³．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查應(yīng)用所學(xué)導(dǎo)數(shù)的知識(shí)、思想和方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力，建立函數(shù)式、解方程、不等式、最大值等基礎(chǔ)知識(shí)．