Question

19．已知A、B為橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$和雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的公共頂點，P、Q分別為雙曲線和橢圓上不同于A、B的動點，且$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{BP}$=λ（$\overrightarrow{AQ}$+$\overrightarrow{BQ}$）（λ∈R，|λ|＞1）．設(shè)AP、BP、AQ、BQ的斜率分別為k₁、k₂、k₃、k₄．
（1）求證：點P，Q，O三點共線；
（2）求k₁+k₂+k₃+k₄的值；
（3）設(shè)F₁、F₂分別為雙曲線和橢圓的右焦點，若QF₁∥PF₂，求k₁²+k₂²+k₃²+k₄²的值．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{BP}$=λ（$\overrightarrow{AQ}$+$\overrightarrow{BQ}$）（λ∈R，|λ|＞1）．得到$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OQ}$，由此能證明點P，Q，O三點共線．
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），求出k₁+k₂=$\frac{2^{2}}{{a}^{2}}•\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}}$，${k}_{3}+{k}_{4}=-\frac{2^{2}}{{a}^{2}}•\frac{{x}_{2}}{{y}_{2}}$，由$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OQ}$，能出k₁+k₂+k₃+k₄的值．
（3）由$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OQ}$，推導(dǎo)出$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{2}=\frac{{λ}^{2}+1}{2}{a}^{2}}\\{{{y}_{1}}^{2}=\frac{{λ}^{2}-1}{2}^{2}}\end{array}\right.$，再由PF₁∥QF₂，得到（k₁+k₂）²=4，（k₃+k₄）²=4，由此能求出k₁²+k₂²+k₃²+k₄²的值．

解答 證明：（1）∵A、B為橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$和雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的公共頂點，
P、Q分別為雙曲線和橢圓上不同于A、B的動點，且$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{BP}$=λ（$\overrightarrow{AQ}$+$\overrightarrow{BQ}$）（λ∈R，|λ|＞1）．
∴$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OQ}$，
∴點P，Q，O三點共線．
解：（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則${k}_{1}+{k}_{2}=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+a}+\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-a}$=$\frac{2{x}_{1}{y}_{1}}{{{x}_{1}}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{2{x}_{1}{y}_{1}}{\frac{{a}^{2}}{^{2}}•{{y}_{1}}^{2}}$=$\frac{2^{2}}{{a}^{2}}•\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}}$，
同理，得：${k}_{3}+{k}_{4}=-\frac{2^{2}}{{a}^{2}}•\frac{{x}_{2}}{{y}_{2}}$，
∵$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OQ}$，∴x₁=λx₂，y₁=λy₂，
∴$\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}}=\frac{{x}_{2}}{{y}_{2}}$，
∴k₁+k₂+k₃+k₄=$\frac{2^{2}}{{a}^{2}}$（$\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}}-\frac{{x}_{2}}{{y}_{2}}$）=0．
（3）∵$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OQ}$，∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{1}{λ}{x}_{1}}\\{{y}_{2}=\frac{1}{λ}{y}_{1}}\end{array}\right.$，
∵$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{^{2}}=1$，
∴$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{^{2}}$=λ²，又$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{^{2}}$=1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{2}=\frac{{λ}^{2}+1}{2}{a}^{2}}\\{{{y}_{1}}^{2}=\frac{{λ}^{2}-1}{2}^{2}}\end{array}\right.$，
又∵PF₁∥QF₂，∴|OF₁|=λ|OF₂|，
∴λ²=$\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}-^{2}}$，
∴$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{{y}_{1}}^{2}}$=$\frac{{λ}^{2}+1}{{λ}^{2}-1}$•$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$=$\frac{{a}^{4}}{^{4}}$，
∴（k₁+k₂）²=4•$\frac{^{4}}{{a}^{4}}$•$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{{y}_{1}}^{2}}$=4•$\frac{^{4}}{{a}^{4}}$•$\frac{{a}^{4}}{^{4}}$=4，
同理（k₃+k₄）²=4，
k₁•k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+a}$•$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-a}$=$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{1}}^{2}-{a}^{2}}$，且$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}$=1，
∴x₁²-a²=$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$•y₁²，
∴k₁k₂=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$同理k₃k₄=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，
∴k₁²+k₂²+k₃²+k₄²=（k₁+k₂）²+（k₃+k₄）²-2（k₁•k₂+k₃•k₄）=4+4-0=8．

點評 本題考查圓錐曲線的綜合，著重考查整體代換與方程思想，培養(yǎng)學(xué)生綜合分析問題，解決問題的能力，屬于難題．