Question

已知點A（-2，0），B（2，0），直線PA與直線PB斜率之積為-，記點p的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）設M，N是曲線C上任意兩點，且|-|=|+|，問直線MN是否恒過某定點？若是，請求出定點坐標；否則，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設動點P的坐標為（x，y），可表示出直線PA，PB的斜率，根據題意直線PA、PB的斜率之積為-，建立等式求得x和y的關系式，即點P的軌跡方程．
（Ⅱ）若，則，從而可得，分直線MN斜率存在與不存在討論，即可求得直線MN過定點（-，0）．
解答：解：（Ⅰ）設P（x，y），則由直線PA與直線PB斜率之積為得（x≠±2），
整理得曲線C的方程為（x≠±2）．----（4分）
（Ⅱ）若，則．由題意知A（-2，0）．
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
若直線MN斜率不存在，則N（x₁，-y₁），由得，
又，解得直線MN方程為x=-．----（6分）
若直線MN斜率存在，設方程為y=kx+m，與橢圓方程聯(lián)立，消去y可得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0．
∴x₁+x₂=，x₁x₂=．----（8分）
由得，整理得（k²+1）x₁x₂+（km+2）（x₁+x₂）+m²+4=0
∴（k²+1）×+（km+2）×+m²+4=0．
解得m=2k或m=．----（10分）
若m=2k，此時直線過定點（-2，0）不合題意舍去．
故m=，即直線MN過定點（-，0）．
斜率不存在時依然滿足．----（12分）
點評：本題考查軌跡方程的求解，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，考查分類討論的數學思想，聯(lián)立方程，利用韋達定理解題是關鍵．