Question

在△ABC中，若cosAcosB=sin2

C

2

，則△ABC是（　�。�

• A、等邊三角形
• B、等腰三角形
• C、銳角三角形
• D、直角三角形

Answer 1

分析：根據(jù)二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)等式的左邊，然后再根據(jù)三角形的內(nèi)角和為π，利用誘導(dǎo)公式得到cosC=-cos（A+B），代入化簡(jiǎn)后的等式中，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式變形后，可得cos（A-B）=1，由A和B都為三角形的內(nèi)角，可得A-B=0，進(jìn)而得到A與B度數(shù)相等，根據(jù)等角對(duì)等邊可得三角形ABC為等腰三角形．

解答：解：∵cosAcosB=sin²

C

2

=

1-cosC

2

，
又cosC=cos[π-（A+B）]=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB，
∴2cosAcosB=1-cosC=1-（-cosAcosB+sinAsinB）=1+cosAcosB-sinAsinB，
移項(xiàng)合并得：cosAcosB+sinAsinB=1，即cos（A-B）=1，
又A和B都為三角形的內(nèi)角，∴A-B=0，即A=B，
∴a=b，
則△ABC是等腰三角形．
故選B

點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角形形狀的判斷，涉及的知識(shí)有二倍角的余弦函數(shù)公式，兩角和與差的余弦函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式，以及等腰三角形的判定，其中利用三角函數(shù)的恒等變形得出cos（A-B）=1是解本題的關(guān)鍵．