Question

9．如圖所示，在幾何體ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，四邊形ACED是直角梯形，∠DAC=90°，AD∥CE，AD=AC=2CE=2，BC⊥CE，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)．
（1）求證：CF∥平面BDE；
（2）若$\overrightarrow{BG}$=λ$\overrightarrow{BD}$，AG和平面BDE所成的角的余弦值是$\frac{1}{3}$，試確定點(diǎn)G的位置．

Answer 1

分析 （1）以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，CE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明CF∥平面BDE．
（2）由AG和平面BDE所成的角的余弦值是$\frac{1}{3}$，利用向量法能確定點(diǎn)G的位置．

解答 證明：（1）∵在幾何體ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
四邊形ACED是直角梯形，∠DAC=90°，AD∥CE，AD=AC=2CE=2，BC⊥CE，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，
∴AC⊥BC，又AC∩CE=C，∴BC⊥平面ACED，
∴AC、BC、CE兩兩垂直，
以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，CE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），F(xiàn)（1，1，0），E（0，0，1），D（2，0，2），
$\overrightarrow{CF}$=（1，1，0），$\overrightarrow{EB}$=（0，2，-1），$\overrightarrow{ED}$=（2，0，1），
設(shè)平面EBD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EB}=2y-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{ED}=2x+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-2），
$\overrightarrow{CF}•\overrightarrow{n}$=1-1+0=0，
∵CF?平面BDE，∴CF∥平面BDE．
解：（2）設(shè)G（a，b，c），∵$\overrightarrow{BG}$=λ$\overrightarrow{BD}$，∴（a，b-2，c）=（2λ，-2λ，2λ），
∴G（2λ，2-2λ，2λ），$\overrightarrow{AG}$=（2λ-2，2-2λ，2λ），
∵AG和平面BDE所成的角的余弦值是$\frac{1}{3}$，
∴$\sqrt{1-（\frac{1}{3}）^{2}}$=$\frac{|\overrightarrow{AG}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AG}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|2λ-2+2λ-2-4λ|}{\sqrt{（2λ-2）^{2}+（2-2λ）^{2}+4{λ}^{2}}•\sqrt{6}}$，
解得$λ=1-\frac{\sqrt{6}}{8}$或$λ=1+\frac{\sqrt{6}}{8}$．
∴$\overrightarrow{BG}$=（1-$\frac{\sqrt{6}}{8}$）$\overrightarrow{BD}$，或$\overrightarrow{BG}$=（1+$\frac{\sqrt{6}}{8}$）$\overrightarrow{BD}$．

點(diǎn)評 本題考查線面平行的證明，考查使得線面角的余弦值為$\frac{1}{3}$的點(diǎn)的位置的確定，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．