Question

（2010•濟(jì)南一模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4．
（1）若以原點(diǎn)為圓心、橢圓短半軸為半徑的圓與直線y=x+2相切，求橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)P是橢圓C上的任意一點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)的直線L與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，記直線PM，PN的斜率分別為k_PM，k_PN，當(dāng)kPM•kPN=-

1

4

時(shí)，求橢圓的方程．

Answer 1

分析：（1）由b=

2

1+1

得b=

2

，再結(jié)合橢圓的長(zhǎng)軸的長(zhǎng)為4，進(jìn)而根據(jù)橢圓中a，b，c的關(guān)系得到焦點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）由題意可設(shè)M（x₀，y₀），N（-x₀，-y₀），P（x，y），所以有

x 2 0

a2

+

y 2 0

b2

=1，

x2

a2

+

y2

b2

=1，兩式相減得：

y2- y 2 0

x2- x 2 0

=-

b2

a2

，再結(jié)合兩條直線的斜率與題中條件可得答案．

解答：解：（1）由b=

2

1+1

得b=

2

…（2分）
又因?yàn)?a=4，
所以a=2，又a²=4，b²=2…（4分）
所以c²=a²-b²=2，
∴兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(

2

，0)，(-

2

，0)…（6分）
（2）由于過(guò)原點(diǎn)的直線L與橢圓相交的兩點(diǎn)M，N交于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
不妨設(shè)：M（x₀，y₀），N（-x₀，-y₀），P（x，y）
因?yàn)镸，N，P在橢圓上，
所以它們滿(mǎn)足橢圓方程，即有

x 2 0

a2

+

y 2 0

b2

=1，

x2

a2

+

y2

b2

=1
兩式相減得：

y2- y 2 0

x2- x 2 0

=-

b2

a2

．…（8分）
由題意它們的斜率存在，則kPM=

y-y0

x-x0

，kPN=

y+y0

x+x0

…（10分）

kPM•kPN= y-y0 x-x0 • y+y0 x+x0 = y2- y 2 0 x2- x 2 0 =- b2 a2 則- b2 a2 =- 1 4 ，由a=2得b=1

故所求橢圓的方程為

x2

4

+y2=1…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，涉及了橢圓與直線的位置關(guān)系，以及直線的斜率等問(wèn)題，綜合性強(qiáng)．