Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1-2a_n=0（n∈N^*）；各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{b_n}中，2S_n=b_n²+b_n（n∈N^*），其中S_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．
（1）求b₁，b₂
（2）求a_n和b_n
（3）設(shè)c_n=

an(n=1，3，5，…) bn(n=2，4，6，…)

，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用遞推思想能求出b₁，b₂．
（2）由a_n+1-2a_n=0得數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1公比2的等比數(shù)列．由此求出a_n=2^n-1；由2S_n=bn2+bn，推導(dǎo)出數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為1公差1的等差數(shù)列．由此求了b_n=n．
（3）cn=

2n-1，n為奇數(shù) n，n為偶數(shù)

，由此利用分類討論思想能求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）當(dāng)n=1時，2S₁=2b₁=b12+b1，解得b₁=1，
當(dāng)n=2時，2S2=b22+b2，即2（1+b₂）=b22+b2，解得b₂=2．…（2分）
（2）∵a_n+1-2a_n=0，∴a_n+1=2a_n，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1公比2的等比數(shù)列．
∴a_n=2^n-1．…（4分）
又2S_n=bn2+bn，∴2Sn-1=bn-12+bn-1，
∴2bn=2Sn-2Sn-1=bn2+bn-bn-12-bn-1，
即bn+bn-1=bn2-bn-12，…（6分）
∵b_n＞0，∴b_n-b_n-1=1，
∴數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為1公差1的等差數(shù)列．…（7分）
∴b_n=n．…（8分）
（3）cn=

2n-1，n為奇數(shù) n，n為偶數(shù)

，…（9分）
∴當(dāng)n=2k，k∈N^*時，
T_n=T_2k=（1+4+4²+…+4^k-1）+（2+4+6+…+2k）
=

4k-1

3

+k(k+1)
=

2n-1

2

+

n2+2n

4

，…（11分）
當(dāng)n=2k-1（k∈N^*）時，
T_n=T_2k-1=（1+4+4²+…+4^k-1）+（2+4+6+…+2（k-1））
=

4k-1

3

+k(k-1)
=

2n+1-1

3

+

n2-1

4

，…（13分）
T_n=

2n+1-1 3 + n2-1 4 ，n是奇數(shù) 2n-1 3 + n2+2n 4 ，n是偶數(shù)

．…（14分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．