Question

若關(guān)于x不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0恒成立，則a的取值范圍是     ．

Answer 1

【答案】分析：把不等式的左邊設(shè)為f（x），然后分a-2大于0，a-2等于0，a-2小于0三種情況考慮，當(dāng)a大于2時(shí)顯然不能恒成立；
當(dāng)a等于2時(shí)，顯然成立；當(dāng)a小于2時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)圖象的開(kāi)口向下，與x軸沒(méi)有交點(diǎn)即△＜0即可列出關(guān)于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的范圍，綜上，得到所有a的范圍即可．
解答：解：設(shè)f（x）=（a-2）x²+2（a-2）x-4，當(dāng)a-2＞0即a＞2時(shí)，函數(shù)為開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)，顯然不合題意；
當(dāng)a-2=0即a=2時(shí)，不等式變?yōu)?4＜0，恒成立；
當(dāng)a-2＜0即a＜2時(shí)，函數(shù)為開(kāi)口向下的拋物線(xiàn)，要使（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0恒成立，
即要△＜0，即4（a-2）²+16（a-2）＜0，化簡(jiǎn)得：4（a+2）（a-2）＜0，解得：-2＜a＜2．
綜上，使不等式恒成立的a的取值范圍是（-2，2]．
故答案為：（-2，2]
點(diǎn)評(píng)：此題考查了一元二次不等式的解法，考查了分類(lèi)討論和函數(shù)的思想，是一道綜合題．