Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足2S_n+3=3a_n（n∈N^*），{b_n}是等差數(shù)列，且b₂=a₁b₄=a₁+4
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）令n=1可求得a₁=3，n≥2時(shí)，由2S_n+3=3a_n得2S_n-1+3=3a_n-1，兩式相減得數(shù)列遞推式2a_n=3a_n-3a_n-1，整理后可判斷數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，從而可求得a_n，進(jìn)而可求得b₂，b₄及公差d=2，得到b_n=2n-1．
（2）表示出a_nb_n，利用錯(cuò)位相減法可求得T_n．

解答：解：（1）n=1時(shí)，2S₁+3=3a₁⇒a₁=3，
n≥2時(shí)，2S_n+3=3a_n，①
2S_n-1+3=3a_n-1，②
由①-②得2a_n=3a_n-3a_n-1，
∴a_n=3a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)a₁=3，公比為3的等比數(shù)列，
∴a_n=3ⁿ（n∈N^*），
∴b₂=a₁=3，b₄=a₁+4=7，
∴d=2，∴b₁=1，
∴b_n=2n-1．
（2）a_nb_n=（2n-1）•3ⁿ，
則T_n=1×3+3×3²+5×3³+…+（2n-1）×3ⁿ，①
∴3T_n=1×3²+3×3³+5×3⁴+…+（2n-1）×3ⁿ⁺¹，②
由①-②得：-2T_n=1×3+2×3²+2×3³+…+2×3ⁿ-（2n-1）×3ⁿ⁺¹
=3+2×

9×(1-3n-1)

1-3

-（2n-1）×3ⁿ⁺¹
=3+3ⁿ⁺¹-9-（2n-1）×3ⁿ⁺¹
=-6-（2n-2）×3ⁿ⁺¹，
∴T_n=3+（n-1）×3ⁿ⁺¹．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列求和問題，錯(cuò)位相減法對(duì)數(shù)列求和是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，要熟練掌握．