Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面為正三角形，且∠A₁AB=∠A₁AC，點(diǎn)A₁到底面ABC的距離等于點(diǎn)A₁到側(cè)面B₁BCC₁的距離的2倍，則

AA1

AB

=

 

．

Answer 1

分析：作A₁D⊥底面ABC于D，A₁E⊥側(cè)面B₁BCC₁于E，根據(jù)∠A₁AB=∠A₁AC可知D在∠BAC的平分線上，根據(jù)△ABC是正三角形，進(jìn)而可知AD⊥BC，又A₁D⊥底面ABC，進(jìn)而可知AA₁⊥BC，進(jìn)而根據(jù)AA₁∥BB₁，推斷BB₁⊥BC，分別以三角形為底，A₁D為高和面B₁BCC₁為底A₁E為高求得三棱柱的體積建立等式求得

BB1

BC

，進(jìn)而求得答案．

解答：解：作A₁D⊥底面ABC于D，A₁E⊥側(cè)面B₁BCC₁于E，
∵∠A₁AB=∠A₁AC
∴D在∠BAC的平分線上，
又∵△ABC是正三角形，
∴AD⊥BC，又A₁D⊥底面ABC，
∴AA₁⊥BC，又AA₁∥BB₁，BB₁⊥BC，
由題意得V=S_△ABC•A₁D=

3

4

BC²•2A₁E=

1

2

S_矩形B1BCC1•A₁E=

1

2

BC•BB₁•A₁EA
∴

BB1

BC

=

AA1

AB

=

3

故答案為

3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算．解題的關(guān)鍵是利用了體積法．體積法就是構(gòu)造三棱錐，把點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為三棱錐的高，利用三棱錐的體積的不變性列方程求解．