Question

（2010•舟山模擬）一個(gè)半徑為1的小球在一個(gè)棱長為4

6

的正四面體容器內(nèi)可向各個(gè)方向自由運(yùn)動(dòng)，則該小球永遠(yuǎn)不可能接觸到的容器內(nèi)壁的面積是

72

3

．

Answer 1

分析：小球與正四面體的一個(gè)面相切時(shí)的情況，易知小球在面上最靠近邊的切點(diǎn)的軌跡仍為正三角形，正四面體的棱長為4

6

，故小三角形的邊長為2

6

，做出面積相減，得到結(jié)果．

解答：解：考慮小球與正四面體的一個(gè)面相切時(shí)的情況，
易知小球在面上最靠近邊的切點(diǎn)的軌跡仍為正三角形，
正四面體的棱長為4

6

故小三角形的邊長為2

6

小球與一個(gè)面不能接觸到的部分的面積為

1

2

×4

6

×4

6

×

3

2

-

1

2

×2

6

×2

6

×

3

2

=18

3

，
∴幾何體中的四個(gè)面小球永遠(yuǎn)不可能接觸到的容器內(nèi)壁的面積是4×18

3

=72

3

故答案為：72

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，本題解題的關(guān)鍵是看出小球的運(yùn)動(dòng)軌跡是什么，看出是一個(gè)正三角形，這樣題目做起來就方向明確．