Question

設(shè)函數(shù)有兩個極值點,且.

(1)求實數(shù)的取值范圍；

(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；

(3)若對任意的,都有成立,求實數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

(1)

(2) ①當時,,即在區(qū)間上單調(diào)遞增；

②當時,,即在區(qū)間上單調(diào)遞減；

③當時,,即在區(qū)間上單調(diào)遞增

(3)

【解析】

試題分析：解:(1)由可得.

令,則其對稱軸為,故由題意可知是方程的兩個均大于的不相等的實數(shù)根,其充要條件為,解得. 5分

(2)由(1)可知,其中,故

①當時,,即在區(qū)間上單調(diào)遞增；

②當時,,即在區(qū)間上單調(diào)遞減；

③當時,,即在區(qū)間上單調(diào)遞增. 9分

(3)由(2)可知在區(qū)間上的最小值為.

又由于,因此.又由可得,從而.

設(shè),其中,

則.

由知:,,故,故在上單調(diào)遞增.

所以,.

所以,實數(shù)的取值范圍為. 14分

(事實上,當時,,此時.即,“”是其充要條件.)

考點：導數(shù)的運用

點評：解決的關(guān)鍵是對于導數(shù)的符號與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系的判定，以及運用導數(shù)的知識來求解最值，屬于中檔題。