Question

已知函數(shù)f（x）=3ax⁴-2（3a+1）x²+4x
（1）當(dāng)a=

1

6

時(shí)，求f（x）的極值與相應(yīng)的x的值；
（2）f（x）在（-1，1）上不是增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：求導(dǎo)函數(shù)f′（x）=12ax³-4（3a+1）x+4
（1）當(dāng)a=

1

6

時(shí)，f′（x）=2x³-6x+4=2（x-1）²（x+2），求得導(dǎo)數(shù)為0的方程的根，確定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求函數(shù)的極值與極值點(diǎn)；
（2）考慮問題的反面，假設(shè)f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)，則f′（x）=12ax³-4（3a+1）x+4≥0在（-1，1）上恒成立，從而3ax²+3ax-1≤0在（-1，1）上恒成立，求得a的反面，取其補(bǔ)集，可求a的取值范圍．

解答：解：求導(dǎo)函數(shù)f′（x）=12ax³-4（3a+1）x+4
（1）當(dāng)a=

1

6

時(shí)，f′（x）=2x³-6x+4=2（x-1）²（x+2）
令f′（x）=2（x-1）²（x+2）=0，∴x₁=1，x₂=-2
∵函數(shù)在（-∞，-2）上單調(diào)減，在（-2，1）上單調(diào)增，在（1，+∞）上單調(diào)增
∴函數(shù)的極值點(diǎn)是x=-2，f（x）的極值為-12；
（2）假設(shè)f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)，則f′（x）=12ax³-4（3a+1）x+4≥0在（-1，1）上恒成立
∴3ax²+3ax-1≤0在（-1，1）上恒成立
令g（x）=3ax²+3ax-1，則

a＞0 g(-1)≤0 g(1)≤0

或

a＜0 g(- 1 2 )≤0

或a=0
∴

a＞0 -1≤0 6a-1≤0

或

a＜0 - 3a 4 -1≤0

或a=0
∴-

4

3

≤a≤

1

6

∴f（x）在（-1，1）上不是增函數(shù)，a的取值范圍為(-∞，-

4

3

)∪(

1

6

，+∞)

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，考查函數(shù)的極值與函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．