已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)過點(diǎn)D（1，
2
2
），焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，滿足
DF1
.
DF2
=
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若過點(diǎn)（2，0）的直線與橢圓C相交于兩點(diǎn)A、B，P為橢圓上一點(diǎn)，且滿足
OA
+
OB
=t
OP
（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求整數(shù)t的最大值．
（Ⅰ）由已知過點(diǎn)D(1，
2
2
)，得
1
a2
+
1
2b2
=1，①
記c=
a2-b2
，不妨設(shè)F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），則
DF
1=（-c-1，-
2
2
），
DF2
=（c-1，-
2
2
），
由
DF
1•
DF2
=
1
2
=(-c-1)(c-1)+(-
2
2
)2，得c2=1，即a2-b2=1．②
由①、②，得a2=2，b2=1．
故橢的方程為
x2
2
+y2=1．
（Ⅱ）由題意知，直線AB的斜率存在．
設(shè)AB方程為y=k（x-2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y）．
由
y=k(x-2)
x2
2
+y2=1
，得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0．
△=64k2-4（2k2+1）（8k2-2）＞0，k2＜
1
2
．
x1+x2=
8k2
1+2k2
，x1x2=
8k2-2
1+2k2
，
∵
OA
+
OB
=t
OP
，∴（x1+x2，y1+y2）=t（x，y）．
x=
x1+x2
t
=
8k2
t(1+2k2)
，y=
y1+y2
t
=
1
t
[k(x1+x2)-4k]=
-4k
t(1+2k2)

∵點(diǎn)P在橢圓上，∴
(8k2)2
t2(1+2k2)2
+2
(-4k)2
t2(1+2k2)2
=2．
∴16k2=t2（1+2k2），t2=
16k2
1+2k2
=
16
1
k2
+2
＜
16
2+2
=4，
∴-2＜t＜2．
∴t的最大整數(shù)值為1．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過點(diǎn)P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2
3
，右焦點(diǎn)F與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點(diǎn)，點(diǎn)D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，且M，N不與橢圓的頂點(diǎn)重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為
2
2
，設(shè)過右焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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