Question

（16分）已知函數(shù)
（1）求證：函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)；
（2）設(shè)，求的值域；
（3）對(duì)于（2）中函數(shù)，若關(guān)于的方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求的取值范圍．

Answer 1

（1）見解析；（2）值域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823234615252504.png" style="vertical-align:middle;" />；（3）的取值范圍為。

本試題主要是考查了函數(shù)的單調(diào)性和最值問題，以及函數(shù)與方程的思想的綜合運(yùn)用

（1）根據(jù)已知關(guān)系式設(shè)出變量，作差，變形定號(hào)得到結(jié)論。
（2）在第一問的基礎(chǔ)上，可知分析函數(shù)的單調(diào)性得到值域。
（（3）因?yàn)橛桑?）可知可知其圖像，然后徐結(jié)合圖像，
設(shè)，則有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，即為有兩個(gè)根，且一個(gè)在上，一個(gè)在上，然后分析得到m的范圍。
（1），設(shè)是上的任意兩個(gè)數(shù)，且，……2分
則……4分
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823234616064429.png" style="vertical-align:middle;" />，∴，∴即
所以在上為增函數(shù)，                       …………………………6分
（2），
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823234616251393.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，所以，
即  …………………………8分
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823234616251393.png" style="vertical-align:middle;" />時(shí)，單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，
所以單調(diào)遞增，所以值域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823234615252504.png" style="vertical-align:middle;" />    …………………………10分
（3）由（2）可知大致圖象如右圖所示，
設(shè)，則有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，即為有兩個(gè)根，且一個(gè)在上，一個(gè)在上，設(shè)     ………12分
①當(dāng)有一個(gè)根為1時(shí)，
，，此時(shí)另一根為適合題意； ………………13分
②當(dāng)沒有根為1時(shí)，，得，∴
∴的取值范圍為                        …………………………16分