Question

已知函數(shù)f （x）=

ax2+1

x+b

是奇函數(shù)，且f （1）=2．
（1）求f （x） 的解析式；
（2）判斷函數(shù)f （x）的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
（3）若x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁≠x₂．求證f(

x1+x2

2

)＜

1

2

[f(x1)+f(x2)]．

Answer 1

分析：1）利用函數(shù)f （x）=

ax2+1

x+b

為奇函數(shù)，且 f（1）=2，可得 f（-1）=-f（1）=-2，從而得到關(guān)于a、b的方程組，解之即可；
（2）直接利用單調(diào)性的定義即可證明；
（3）要證f(

x1+x2

2

)＜

1

2

[f(x1)+f(x2)]．利用作差法可證明

解答：解：：（1）∵f （x）=

ax2+1

x+b

為奇函數(shù)，且 f（1）=

a+1

1+b

=2
∴f（-1）=

a+1

b-1

=-f（1）=-2，解得：a=1，b=0．
∴f（x）=

1+x2

x

．
（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)，在區(qū)間（0，1）上是減函數(shù)，在（-1，0）上單調(diào)遞減，在（-∞，-1）上單調(diào)遞增
證明：∵函數(shù)的定義域為{x|x≠0}
在區(qū)間（0，+∞）上任取x₁，x₂，令0＜x₁＜x₂
∴f（x₁）-f（x₂）=x1+

1

x1

-x2-

1

x2

=

(x1-x2)(x1x2-1)

x1x2

∵0＜x₁＜x₂＜1
∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，x₁x₂＞0，
①當1＜x₁＜x₂時，x₁x₂-1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）
故函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)．
②x₁＜x₂≤1時，x₁x₂-1＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0即f（x₁）＞f（x₂）
故函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上是減函數(shù)
根據(jù)奇函數(shù)的對稱性可知，函數(shù)在（-1，0）上單調(diào)遞減，在（-∞，-1）上單調(diào)遞增
（3）∵x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁≠x₂．
∴f(

x1+x2

2

)-

1

2

[f(x1)+f(x2)]=

x1+x2

2

+

2

x1+x2

-

x1+ 1 x1

2

-

x2+ 1 x2

2

=

2

x1+x2

-

x1+x2

2x1x2

=

4x1x2-(x1+x2)2

2x1x2

=

-(x1-x2)2

2x1x2

＜0
∴f(

x1+x2

2

)＜

1

2

[f(x1)+f(x2)]

點評：本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的性質(zhì)應(yīng)用，著重考查學(xué)生理解函數(shù)奇偶性與用定義證明單調(diào)性及解方程，及利用作差法證明不等式，屬于中檔題．