Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c為實(shí)數(shù)a不為零），且同時(shí)滿足下列條件：
（1）f（-1）=0；
（2）對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，都有f（x）-x≥0；
（3）當(dāng)x∈（0，2）時(shí)有．
①求f（1）；
②求a，b，c的值；
③當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，函數(shù)g（x）=f（x）-mx（m∈R）是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當(dāng)x=1時(shí)，由 f（1）-1≥0，且=1，∴f（1）=1．
（2）設(shè)二次函數(shù)為f（x）=ax²+bx+c，由f（-1）=0可得a-b+c=0，
而f（1）=1，∴．
又f（x）-x≥0，∴ax²+bx+c-x≥0，化簡(jiǎn)得 ax²+（b-1）x+c≥0，
∴a＞0且（b-1）²-4ac≤0，把 ，代入化簡(jiǎn)可得 ，
∴．
（3）由上可得 f（x）=，∴-mx=，
因?yàn)楹瘮?shù)g（x）在[-1，1]上單調(diào)可知，-≤-1，或-≥1，
解得m≤0，或m≥1．故m的取值范圍是{m|m≤0，或m≥1}．
分析：（1）當(dāng)x=1時(shí)，根據(jù)f（1）-1≥0，且=1，可得f（1）=1．
（2）由f（-1）=0 和f（1）=1，可得 b==a+c，再由f（x）-x≥0，可得 a=c=．
（3）由上可得 f（x）=，求出g（x）的解析式，由函數(shù)g（x）在[-1，1]上單調(diào)可知，
有-≤-1，或-≥1，解不等式求得m的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查求函數(shù)的值的方法，二次函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，求出a，b，c的值，是解題的
關(guān)鍵．